Вариант № 460099(база)

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  Ответ: 8,8.

2. Най­ди­те про­из­ве­де­ние чисел   и  .

По­яс­не­ние. Ис­поль­зу­ем свой­ства сте­пе­ней: Ответ: 0,091.

3. Налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% от за­ра­бот­ной платы. После удер­жа­ния на­ло­га на до­хо­ды Мария Кон­стан­ти­нов­на по­лу­чи­ла 9570 руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­став­ля­ет за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны?

 По­яс­не­ние. Пусть за­ра­бот­ная плата Марии Кон­стан­ти­нов­ны со­став­ля­ет   руб­лей. Тогда

  Зна­чит, зар­пла­та Марии Кон­стан­ти­нов­ны со­став­ля­ет 11 000 руб­лей. Ответ: 11 000.

4. Най­ди­те m из ра­вен­ства F = ma, если F = 84 и a = 12.

По­яс­не­ние. Под­став­ляя зна­че­ния   и   по­лу­ча­ем: 8  от­ку­да  Ответ: 7.

5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  .

По­яс­не­ние.

 

Ответ: 6.

6. В уни­вер­си­тет­скую биб­лио­те­ку при­вез­ли новые учеб­ни­ки по ве­те­ри­на­рии для четырёх кур­сов по 70 штук для каж­до­го курса. Все книги оди­на­ко­вы по раз­ме­ру. В книж­ном шкафу 7 полок, на каж­дой полке по­ме­ща­ет­ся 25 учеб­ни­ков. Сколь­ко шка­фов можно це­ли­ком за­пол­нить но­вы­ми учеб­ни­ка­ми?

По­яс­не­ние. Всего при­вез­ли 70   4 = 280 учеб­ни­ков по ве­те­ри­на­рии. В книж­ном шкафу по­ме­ща­ет­ся 25   7 = 175 учеб­ни­ков. .Зна­чит, чтобы вме­стить все книги по­на­до­бит­ся 2 шкафа, из них пол­но­стью будут за­пол­не­н 1 шкаф. Ответ: 1.

7. Ре­ши­те урав­не­ние  . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

По­яс­не­ние. Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния за­да­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем  . На об­ла­сти опре­де­ле­ния имеем: Оба най­ден­ный ре­ше­ния удо­вле­тво­ря­ют усло­вию  , мень­ший из них равен −0,5. Ответ: −0,5.

8.  На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фик функ­ции y = f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой   Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке 

По­яс­не­ние. Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB: . Ответ: −1,25.

9. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми зна­че­ни­я­ми: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столб­ца.

ВЕ­ЛИ­ЧИ­НЫ		ВОЗ­МОЖ­НЫЕ ЗНА­ЧЕ­НИЯ
А) пло­щадь го­ро­да Санкт-Пе­тер­бург Б) пло­щадь ла­до­ни взрос­ло­го че­ло­ве­ка В) пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки Г) пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки		1) 364 кв. м 2) 100 кв. см 3) 1399 кв. км 4) 0,2 кв. м

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой, со­от­вет­ству­ю­щей ве­ли­чи­не, ука­жи­те номер её воз­мож­но­го зна­че­ния.

A	Б	В	Г

По­яс­не­ние. Пло­щадь Санкт-Пе­тер­бур­га самая боль­шая из пред­ло­жен­ных и впол­не может быть 1399 кв. км., пло­щадь бас­кет­боль­ной пло­щад­ки около 364 кв. м., пло­щадь по­верх­но­сти тум­боч­ки при­мер­но 0,2 кв. м. = 2000 кв. см., пло­щадь ла­до­ни взрос­ло­го где-то 10x10 см, то есть 100 кв. см. По­лу­чим со­от­вет­ствие А - 3, Г - 1, В - 4 и Б - 2. Окон­ча­тель­но по­лу­чим 3241. Ответ: 3241.

10. В чем­пи­о­на­те по гим­на­сти­ке участ­ву­ют 50 спортс­ме­нок: 22 из Ве­ли­ко­бри­та­нии, 19 из Фран­ции, осталь­ные — из Гер­ма­нии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют гим­наст­ки, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Гер­ма­нии.

По­яс­не­ние. В чем­пи­о­на­те при­ни­ма­ет уча­стие   спортс­ме­нок из Гер­ма­нии. Тогда ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен­ка, вы­сту­па­ю­щая пер­вой, ока­жет­ся из Гер­ма­нии, равна 9:50=0,18

Ответ: 0,18.

 11. Для под­дер­жа­ния на­ве­са пла­ни­ру­ет­ся ис­поль­зо­вать ци­лин­дри­че­скую ко­лон­ну. Дав­ле­ние P (в пас­ка­лях), ока­зы­ва­е­мое на­ве­сом и ко­лон­ной на опору, опре­де­ля­ет­ся по фор­му­ле , где   кг — общая масса на­ве­са и ко­лон­ны, D — диа­метр ко­лон­ны (в мет­рах). Счи­тая уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния   м/с , а  , опре­де­ли­те наи­мень­ший воз­мож­ный диа­метр ко­лон­ны, если дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, не долж­но быть боль­ше 800 000 Па. Ответ вы­ра­зи­те в мет­рах.

По­яс­не­ние.Най­дем, при ко­то­ром диа­мет­ре ко­лон­ны дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, ста­нет рав­ным 800 000 Па. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния   при за­дан­ном зна­че­нии массы на­ве­са и ко­лон­ны   кг:

  .Если диа­метр ко­лон­ны будет мень­ше най­ден­но­го, то дав­ле­ние, ока­зы­ва­е­мое на опору, будет мень­ше 800 000 Па, по­это­му наи­мень­ший воз­мож­ный диа­метр ко­лон­ны равен 0,2 м. Ответ: 0,2.

12. При нор­маль­ном па­де­нии света с дли­ной волны   нм на ди­фрак­ци­он­ную решeтку с пе­ри­о­дом d нм на­блю­да­ют серию ди­фрак­ци­он­ных мак­си­му­мов. При этом ост­рый угол   (от­счи­ты­ва­е­мый от пер­пен­ди­ку­ля­ра к решeтке), под ко­то­рым на­блю­да­ет­ся мак­си­мум, и номер мак­си­му­ма k свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем  . Под каким ми­ни­маль­ным углом   (в гра­ду­сах) можно на­блю­дать тре­тий мак­си­мум на решeтке с пе­ри­о­дом, не пре­вос­хо­дя­щим 2400 нм?

По­яс­не­ние.За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства   нм на ин­тер­ва­ле   при за­дан­ных зна­че­ни­ях длины волны света   нм и но­ме­ра мак­си­му­ма  :

  . Ответ: 30.

13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

По­яс­не­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да с реб­ра­ми 3, 3, 5 и двух пло­ща­дей квад­ра­тов со сто­ро­ной 1:

  . Ответ: 76.

14. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке 

По­яс­не­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции Урав­не­ние   не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

  Ответ: 15.

15. Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки

1 см   1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те  .

 

По­яс­не­ние. Най­дем квад­рат ра­ди­у­са круга  см² Пло­щадь фи­гу­ры равна чет­вер­ти пло­ща­ди этого круга. По­это­му  см². Ответ: 4,5.

16. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 10, бо­ко­вое ребро равно 20. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

По­яс­не­ние.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му для вы­со­ты пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:  . Пло­щадь пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии, равна .Тогда объем пи­ра­ми­ды равен:

  . Ответ: 1500.

17. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА		РЕ­ШЕ­НИЯ
А)  Б)  В)  Г)		1)  2)  3)  4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам: 

А	Б	В	Г

По­яс­не­ние.

А)  Б) 

В)  Г)  ответ:1324

18. В груп­пе учит­ся 30 сту­ден­тов, из них 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по эко­но­ми­ке и 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёт по ан­глий­ско­му языку. Вы­бе­ри­те утвер­жде­ния, ко­то­рые сле­ду­ют из при­ведённых дан­ных.

В этой груп­пе

 1) не менее 10 сту­ден­тов не по­лу­чи­ли зачёта ни по эко­но­ми­ке, ни по ан­глий­ско­му языку

2) хотя бы 10 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

3) не боль­ше 20 сту­ден­тов по­лу­чи­ли зачёты и по эко­но­ми­ке, и по ан­глий­ско­му языку

4) найдётся сту­дент, ко­то­рый не по­лу­чил зачёта по ан­глий­ско­му языку, но по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке.

 В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без про­бе­лов, за­пя­тых и

дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

По­яс­не­ние.1) Сту­ден­тов, ко­то­рые не по­лу­чи­ли ни од­но­го зачёта, от 0 до 10. Но не "не менее 10". 2) Это верно. 3) Да, так как всего по эко­но­ми­ке по­лу­чи­ли зачёты 20 сту­ден­тов. То есть боль­ше сту­ден­тов с зачётом по эко­но­ми­ке быть не может. 4) Не факт. Может быть такое, что каж­дый сту­дент, ко­то­рый по­лу­чил зачёт по эко­но­ми­ке, также по­лу­чил зачёт и по ан­глий­ско­му языку. Ответ:23

19. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 1 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние. Если число имеет оди­на­ко­вые остат­ки по каким-то мо­ду­лям, то оно имеет такой же оста­ток по мо­ду­лю, яв­ля­ю­ще­му­ся НОК этих мо­ду­лей. То есть в дан­ном слу­чае по мо­ду­лю 105. Тогда наше число  . Пе­ре­берём все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 421, 631 и 841. Ответ: 421; 631; 841.

20. Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние де­ли­лось на 7?

По­яс­не­ние. До­ста­точ­но взять два числа, одно из ко­то­рых крат­но семи, на­при­мер, 7 и 8. Ответ: 2.

 При­ме­ча­ние. Если бы усло­вие за­да­чи зву­ча­ло так: «Какое наи­мень­шее число иду­щих под­ряд чисел нужно взять, чтобы их про­из­ве­де­ние га­ран­ти­ро­ва­но де­ли­лось на 7?» То нужно было бы взять семь под­ряд иду­щих чисел.