Практика 16. 25.4.2015 - 134-1 28.4.2014 - 134-2

1. (Д/З с прошлой пары). В ящике 15 деталей, из них 10 окрашенных. Извлекают 3 детали. Найти вероятность, что все они окажутся окрашенными.

Решение. Надо чтобы попалось 3 из 10, но 0 из 5 неокрашенных. Всего же комбинаций 3 из 15.

= = = = .

2. Из 10 ламп 4 неисправных. Случайным образом взяли 3 лампы. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них неисправна.

Решение. Можно рассмотреть противоположное событие - что все исправны. Его вероятность - число всех выборок из 6 ламп по отношению к числу всех выборок из 10 ламп.

= = = = , тогда .

Но можно рассуждать и по-другому. Неисправна хотя бы одна лампа - то есть или 1, или 2, или 3.

Тогда то же самое можно вычислить так: .

3. В коробке есть 20 ламп. 4 из них - на 220 вольт и 16 - на 12 вольт (для фонаря). Половина тех и других матовые. Взято случайным образом 2 лампы. Какова вероятность, что они разного напряжения и при этом обе матовые?

Решение. Всего возможностей выбрать 2 лампы из 20 : . При этом есть 2 матовые одного типа и 8 матовых другого типа. Выбрать 1 из 2 и 1 из 8 - возможностей . Итак, вероятность =

= = .

Геометрическая вероятность

4. На отрезок [0,1] произвольно брошено 2 точки. Найти вероятность, что расстояние между ними меньше чем 1/2. Ответ. 3/4. Построение схемы с квадратом.

5. На отрезке случайно взяты две точки. Найти вероятность, что их сумма >0, а произведение <0.

Ответ. 1/4. Тоже построение схемы с квадратом и штриховкой.

6. В круг радиуса R брошена точка. Найти вероятность, что она попадёт во вписанный равносторонний треугольник. Ответ. .

Объединение и пересечение

7. Два стрелка стреляют по мишени, вероятность попадания 0,7 у первого и 0,8 и второго. Найти вероятность, что 1) попали оба 2) попал всего один 3)не попал никто из них.

0,8 + 0,7 - 0,8 * 0,7 = 0,94 что вообще цель поражена хотя бы 1 раз.

0,8 * 0,7 = 0,56 что оба.

0,94 - 0,56 = 0,38 что всего один.

1 - 0,94 = 0,06 что никто.

8. Найти вероятность, что случайно взятое 2-значное число делится на 2, на 9 или на оба этих числа.

По формуле (объединение множеств)

Формула полной вероятности.

9. 100 шаров, из которых 10 белых и 90 чёрных, распределены по 3 коробкам так.

В первой 5 белых и 1 чёрный, во второй 5 белых и 1 чёрный, в третьей 88 чёрных шаров.

Из случайно выбранной коробки извлекают шар. Найти вероятность, что он окажется белый.

Найти вероятность, что выбран белый, если все шары смешать в одну коробку.

Решение. По формуле полной вероятности.

(более 50%). Если все в одной, то 0,1 или 10%.

10. В первой коробке 10 шаров - 8 белых и 2 чёрных. Во второй 20 шаров - 4 белых и 16 чёрных.

Из каждой коробки берут по 1 шару. Затем из этих двух берут 1 шар. Найти вероятность, что он белый.

.

Вторая идея решения.

Вероятность что из 1 коробки белый 0,8 из второй 0,2.

Вер. что оба белые 0,8 * 0,2 = 0,16

Вер. что 1 белый 1 чёрный 0,8 * (1 - 0,2) + 0,2 * (1 - 0,2) = 0,64+ 0,04 = 0,68

Вер. что оба чёрные (1 - 0,8) * (1 - 0,2) = 0,16.

Если оба белые то один из них белый с вер. 1, если разные то 0,5. Итак .

11.Первый станок производит 30% продукции, второй 25%, третий 45%. Процент брака у каждого из них соответственно 2%, 1%, 3%. Найти вероятность, что случайно взятая деталь бракованная.

Ответ. 2,2%.

Формула Байеса

12. Первый станок производит 60% продукции, второй 40%. Процент брака у каждого из них соответственно 1% и 2%. Сучайно взятая деталь оказалась бракованная. Найти вероятность, что она именно с 1-го станка (соответственно, 2-го).

Ответ. 6/14 и 8/14

(Неделя 12) Практика 17. 2.5.2015 - 134-1, 134-2

Задача 1. В коробке 4 красных шара, 8 белых и 8 чёрных. Случайным образом выбирают 2 шара. Какова вероятность, что они оба красные?

Решение. Есть 2 способа.

1-й Можно рассмотреть последовательно: сначала выбираем красный шар с вероятностью . После этого в коробке осталось 19 шаров, из них 3 красных. Значит, второй выбор красного шара произойдёт с вероятностью . Итого .

2-й Число всевозможных комбинаций 2 шаров из 20 есть , а число комбинаций только из красных шаров . Итого нужно вычислить = = = = .

Задача 2. В коробке 4 красных шара, 8 белых и 8 чёрных. Случайным образом выбирают 2 шара. Какова вероятность, что они оба одного цвета?

В отличие от прошлой задачи, теперь оба шара могут быть любого цвета. В том числе, 2 белых и 2 чёрных.

Тогда нужно вычислить + + = + = .

Задача 3. Два стрелка стреляют по мишени, вероятность попадания у 1-го 0,4 а у второго 0,3. Найти вероятность, что 1) цель будет поражена 2) в цель попали оба 3) в цель попал всего один из них 4) не попал никто.

0,4 + 0,3 - 0,4 * 0,3 = 0,58 что вообще цель поражена хотя бы 1 раз.

0,4 * 0,3 = 0,12 что оба.

0,58 - 0,12 = 0,46 что всего один.

1 - 0,58 = 0,42 что никто.

Задача 4. Есть 3 коробки. В 1-й 6 белых и 4 чёрных шара. Во 2-й 5 белых и 5 чёрных. В 3-й 1 белый и 9 чёрных.

1) С равной вероятностью выбираем коробку, и затем из неё 1 шар, найти вероятность, что он белый.

2) Если выбранный шар белый, найти вероятность, что он был именно из 3-й коробки.

Решение. 1) на формулу полной вероятности.

2) на формулу Байеса. Доля 3-го слагаемого в общей сумме в пункте 1. =

Задача 5. Геометрическая вероятность. На отрезок [0,1] случайным образом брошены 2 точки. Найти вероятность того, что произведение их абсцисс больше или равно, чем 1/2.

Решение.

Требуется , то есть . Построим схему с помощью квадрата, отложив 1-ю точку по оси Х, вторую по У. Тогда этому условию удовлетворяют точки, расположенные в квадрате выше линии . Нужно найти площадь этой области относительно площади квадрата (которая равна 1), то есть интеграл . = .

Задача 6. Точка случайныи образом брошена в квадрат со стороной . Найти вероятность, что она окажется на расстоянии менее от сторон квадрата.

Ответ 0,36.

Задача 7. (Схема Бернулли). Вероятность срабатывания устройства при каждом 0,7. Найти вероятность того, что оно сработает ровно 7 раз из 10.

Решение. = ... Ответ. .

Задача 8 (Схема Бернулли). В группе 6 студентов, средняя посещаемость у каждого 80%. Найти вероятность, что на данное занятие придут 5 из 6. (Аналогично, 6 из 6, 4 из 6 и т.д. )

Решение. По формуле

	0	1	2	3	4	5	6
P	...	...	...	0,082	0,246	0,393	0,262

Задача 9 (Схема Бернулли). Куб брошен 4 раза. Найти вероятность того, что данная грань выпадет:

0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза, 4 раза.

Решение. По формуле

	0	1	2	3	4
P	0,482	0,385	0,116	0,015	0,0077