2. Ответ: .

Общее повторение (другие примеры). Контрольная работа №2.

Темы 2-й контрольной (18 апреля) 5 Двойные интегралы 6 Дифф уравнения 1-го порядка

7 Дифф ур высшего порядка 8. Линейные высшего порядка.

(Неделя 11) Практика 15. Теория вероятности. 21.4.2015 - 134-1 25.4.2015 - 134-2

1. Необходимо расположить 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов?

Нужно вычислить = = 95040.

2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7

(если цифры в числе могут повторяться) Ответ.

3. Сколько трёхзначных чисел можно составить из трёх цифр 1,2,3 (если цифры в числе повторяются).

Ответ. Число перестановок из 3 элементов 3! = 6.

4. Сколькими способами можно составить 4-значное число, все цифры которого различны?

Решение. На первом месте не может быть 0, так как иначе число не 4-значное. Поэтому на 1 месте может быть одна из 9 цифр. Затем, 1 цифру уже изъяли из обращения, осталось 9. На втором месте может быть одна из 9 цифр, но 0 там уже возможен. Для 3-го места остаётся всего 8 цифр, для 4-го 7.

Итак, = 4536.

5. В хоккейном клубе 8 нападающих, 5 защитников и 2 вратаря. Сколько различных вариантов команды может составить тренер, если на лёд одновременно выходят 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

Решение. Нужно выбрать 3 из 8 нападающих, число сочетаний . Независимо от этого, выбрать 2 из 5 защитников, то есть . И 1 из 2 вратарей, то есть . Число комбинайий =

= = .

6. Продаются 6 различных видов конфет. Сколькоими способами можно составить наборы из 4 различных конфет?

Решение. = = = 15.

7. Замок на сейфе зашифрован кодом из 10 цифр. Хватит ли 1 года, чтобы открыть сейф, если на набор каждой комбинации уходит 1 секунда?

Решение. Число комбинаций равно . В сутках 24 часа = 86400 секунд. За 365 дней 31.536.000 секунд.

Это число меньше чем . Таким образом, на перебор всех комбинаций потребуется примерно 300 лет.

7-1. Замок на сейфе зашифрован кодом из 4 цифр. За сколько времени можно гарантированно открыть замок, если на набор каждой комбинации уходит 1 секунда?

Решение. Число комбинаций равно = 10000. В часе 3600 секунд. Итого, 2 часа 46 минут 40 секунд.

8. На 5 карточках написаны буквы О,Т,М,К,С. Какова вероятность, что при случайном последовательном расположении карточек получится слово «Томск»?

Решение. Одинаковых букв нет. Всего расположений . Вероятность .

8-а. На 5 карточках написаны буквы О,О,М,Л,Т. Какова вероятность, что при случайном последовательном расположении карточек получится слово «Молот»?

Решение. Всего расположений . Но есть две одинаковые буквы О, которые можно не различать. Таким образом, подходят 2 комбинации из 120. Вероятность .

9. В офисе работают 4 женщины и 3 мужчин. Среди них случайным образом распространили 4 лотерейных билета. Какова вероятность, что билет получат именно 2 женщин и 2 мужчин.

Решение. Всего возможностей распространить 4 билета на 7 человек . Но в данном случае 2 из 4 и 2 из 3, то есть . Таким образом, вероятность = = = .

10. Из партии в 10 изделий, 3 из которых бракованные, случайно выбирают 3 изделия. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется ровно одно бракованное.

Решение. Нужно выбрать 1 бракованное из 3 и 2 исправных из 7, и поделить на общее число выборок. = = = = .

11. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что при выборе 2 билетов окажется: 0 выигрышных, 1 выигрышный, 2 выигрышных билета.

Всего возможностей выбрать 2 билета из 10: = = 45.

Если выигрышных 0, то все 2 выбираются из множества 8 неудачных билетов и 0 из выигрышных.

= = = .

Если выигрышный 1, то 1 выбирается из множества 8 неудачных билетов и 1 из выигрышных.

= = = .

Если выигрышных 2, то 0 выбираются из множества 8 неудачных билетов и 2 из выигрышных.

= = .

11-а. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что при выборе 5 билетов окажется 1 выигрышный.

Решение. Если выигрышный 1 из 5, то 4 выбирается из множества 8 неудачных билетов и 1 из выигрышных, всего же их выбирается 5.

= = = = .

12. Куб, все внешние грани которого окрашены, рапилен на 27 частей (по 3 вдоль каждой координатной плоскости). Найти вероятность того, что случайно извлечённый маленький кубик имеет:

3 окрашенных грани, 2,1,0.

Ответ. , , , .