134-1 РТФ ПРАКТИКА ВЕСНА 2015

(Неделя 1) Практика 1. 10.2.2015

Понятие первоообразной и неопределённого интеграла.

Бесконечное множество первообразных,

Раздача таблицы интегралов. Объяснение причины возникновения модуля в

Случаи D>0 и D<0 для дискриминанта знаменателя

разложение на простейшие дроби либо выделение полного квадрата и сведение к arctg.

Тригонометрические преобразования. решается преобразованием по формулам понижения степени.

Метод подведения под знак дифференциала.

Практика 2. 14.2.2015

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9.

Интегрирование по частям:

10. 11. 12. 13. 14.

(Неделя 2) Практика 3. 21.2.2015

1. _Ответ

2. Вывод формулы для интегралов типа .

3. 4.

Рац.дроби. Все корни знаменателя различны:

5. 6. 7. (отв. С равны 1/2, -1, 1/2)

8. 9. ((Отв. С равны -0,5, 1,5) 10.

(Неделя 3) Практика 4. 24.2.2015

Кратные корни: 1. (4/9, 5/3, 5/9)

2. (0, -1, 1/2 , -1/2 ) 3. (1/4, 1/4, -1/4, 1/4).

Комплексные корни: 4. (коэф 1/4, -1/4, 0) 5. (коэф 1,1,1)

Иррациональности 6. 7. 8.

Практика 5. 28.2.2015

Иррациональности: 1.

Тригонометрические: 2. 3. 4. 5.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки: 6.

Иррациональности с применением тригонометрических замен: 7. 8.

Определённый интеграл. 9. 10.

(Неделя 4) Практика 6. 7.3.2015

Определённый интеграл и его приложения

1. , 2. 3. 4.

5. 6. 7.

8. Найти S фигуры, ограниченной линиями

9. Пример с применением S для обратной функции для .

10. Найти площадь области, ограниченной линиями 5/6

(Неделя 5) Практика 7. 14.3.2015

1. найти длину кривой

2. Найти длину 1 витка винтовой линии в пространстве

3. Найти объём тела, полученного вращением кривой вокруг оси 0x, отв

4. С помощью метода вычисления объёмов тел вращения, доказать формулу объёма конуса.

5. Найти несобственный интеграл (1/5)

6. Найти несобственный интеграл

7. пример на повторение из прошлых тем.

Контрольная работа 45 минут. Темы 1-й контрольной (14 марта)

1 Подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям

2 Интегрирование рациональных дробей

3 Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций

4 Определённый интеграл, его приложения

(Неделя 6) Практика 8. 21.3.2015

Несобственный интеграл. Выяснить сходимость по признакам сравнения:

Двойные интегралы в декартовых координатах. Вычисление.

1. (отв 1) 2. (отв е-2)

3. по треуг. (0,0),(1,0),(0,1) (1/3)

4. по треуг-ку. (0,0),(1,1),(1,2)

Двойные интегралы в декартовых, описание области D.

1. Записать пределы интегрирования 2 способами для области, ограниченной кривыми , , .

2. Изменить порядок интегрирования:

3. Изменить порядок интегрирования:

Двойные интегралы в полярных.

1. Вычислить в полярных координатах , где D - четверть круга радиуса 1

2. Вычислить в полярных координатах

3. Вычислить в полярных коорд интеграл по полукругу радиуса 1 в прав. полупл, f (x,y)= x. (2/3)

4. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Определим границы роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x = 1

в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии, получим , тогда .

(Неделя 7) Практика 9. 24.3.2015

Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

1. Найти площадь поверхности Ответ:

2. Доказать с помощью формулы площади поверхности, что площадь сферы равна .

Решение. Если из уравнения сферы радиуса R выразить переменную z, то получим , это уравнения верхней и нижней полусферы. Рассмотрим верхнюю полусферу: и применим формулу площади явно заданной поверхности, то есть . Здесь , , подставим в формулу, получим где D - круг радиуса R (проекция полусферы на плоскость Oxy, то есть область определения функции f). Далее, после преобразований получается . Переходим к полярным координатам:

= = =

= = .

Тройной интеграл в декартовых координатах.

1. Вычислить тройной интеграл по кубу Ответ

2. Вычислить Ответ

3. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

в декартовых координатах. Ответ .

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

1. Вычислить объём тела, ограниченного цилиндром и двумя плоскостями

в цилиндрических координатах. Ответ .

2. Вычислить в сферических координатах интеграл по 1/8 шара в первом октанте: . Ответ

3. Вычислить объём тела, ограниченного снизу конусом , а сверху - сферой радиуса , в сферических координатах. Ответ: .

Вычислить работу векторного поля

1. Найти работу поля при перемещении по четверти единичной окружности радиуса 1. Ответ - 1/12.

Практика 10. 28.3.2015 Дифференциальные уравнения 1 порядка

С разделяющимися переменными.

1. 2. , 3. ,

4. , 5.

Однородные уравнения 6. отв 7. отв

Линейные уравнения 1 порядка однородное: 8. отв .

(Неделя 8) Практика 11. 4.4.2015 Дифф. уравнения 1 и высшего порядка

Линейные неоднородные 1.

2. Отв. 3. . Отв.

4. Отв.

Уравнения Бернулли.

1. Отв. 2. Отв. .

В полных дифференциалах: сводится к .

С помощью замены: . Заменить , получаем новое уравнение.

(Неделя 9) Практика 12. 7.4.2015 Дифф. уравнения высшего порядка.

1.

2.

3. сводится к

4. свести к линейному 1 порядка

5. Другой тип замены. Уравнение .

Линейные однородные уравнения высшего порядка.

1. .

2.

3.

4. .

5. + задача Коши . отв С: (0,1,0), .

Практика 13. 11.4.2015 Дифф. уравнения, линейные.

1. + задача Коши . отв С: 1/4, 1/4, -1,4

Линейные неоднородные уравнения высшего порядка: метод Лагранжа

и метод неопределённых коэффициентов

(1,-1, ) методом Лагранжа

(1,-1, ) методом неопределённых коэффициентов

(1,2, частное реш -x-1)

(1/2,-2, )

( )

.

Решить уравнение: усл. Коши: ( ) ответ: .

(Неделя 10) Практика 14. 18.4.2015 Дифф. уравнения, окончание темы.

1. , .