2.3 Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

 

Сандық  әдістермен шешілетін негізгі мәселелердің бірі – бұл сызықтық теңдеулер жүйесін шешу. Айталық төмендегі теңдеулер жүйесін шешу керек болсын:

 

Сызықтық алгебра курсынан бұл жүйені төмендегі матрица түрінде жазуға болатындығы белгілі:

AX=B

Мұндағы А - теңдеудің сол жағындағы коэффициенттерден тұратын матрица. Х-белгісіз х-терден тұратын вектор, ал В-теңдеудің оң жағындағы бос мүшелерден тұратын вектор. Демек, бұл жерде шешімін төмендегідей шешуге болады:

X=A^-1В

Бірақта MatLab жүйесінде X=В/А формуласымен, яғни В векторын А матри-цасына бөлу қажет.

Мысалы, мына жүйені шешу керек.

MatLab-та матрицаға мәндер бағаны бойынша беріледі. Демек,

>> A=[5  4  2; 3  -1  5; 4  -2  -3];

>> B=[27  -6  0];

Сонда теңдеулер жүйесінің шешуі:

>> X=B/A

X=

           1

           2

           4

түрде алынады, яғни  х₁=1,  x₂=2,  x₃=4  болады.

Мысал 2. Теңдеулер жүйесінің шешімін тап:

1. Кері матрица арқылы теңдеу түбірін табу:

Шешуі. Жүйені матрицалық түрде жазамыз. Ол үшін мына белгілеулерді енгіземіз:

 

Сонда жүйенің матрицалық теңдеуі АХ=В түрінде жазылды. Матрицалық түрдегі жүйенің шешуі X=A^-1B болады. Теңдеулер жүйесінің анықтауышы мынаған тең:

 

MatLab ортасында анықтауышты есептеу үшін det(A) функциясы қолданылады.

>> A=[1 5 -1;2 4 -3;3 -1 -3]

      A =

     1     5    -1

     2     4    -3

     3    -1    -3

>> det(A)

ans =

   -16

Олай болса, теңдеу шешімдерін төмендегідей етіп орындаймыз.

>> A=[1 2 3; 5 4 -1; -1 -3 -3];

>> B=[3 2 -7];

>> X=B/A

 

X =

 

    -4     1    -2

Сонымен, теңдеу жауабы: х₁=-4,  x₂=1,  x₃=-2.

 

2. Крамер формуласын пайдаланып теңдеуді шешу.

Шешуі.

>> A=[1 5 -1;2 4 -3;3 -1 -3]

A =

     1     5    -1

     2     4    -3

     3    -1    -3

>> det(A)

ans =

   -16

 

>> A1=[[3;2;-7] [5; 4; -1] [-1;-3;-3]]

A1 =

     3     5    -1

     2     4    -3

    -7    -1    -3

>> det(A1)

 

ans =

    64

 

>> A2=[[1;2;3] [3;2;-7] [-1;-3;-3]]

A2 =

     1     3    -1

     2     2    -3

     3    -7    -3

>> det(A2)

ans =

   -16

 

>> A3=[[1;2;3] [5;4;-1] [3;2;-7]]

A3 =

     1     5     3

     2     4     2

     3    -1    -7

>> det(A3)

ans =

    32

 

>> x1=det(A1)/det(A)

x1 =

    -4

 

>> x2=det(A2)/det(A)

X2 =

     1

 

>> x3=det(A3)/det(A)

x3 =

    -2

Сонымен, теңдеу жауабы: х₁=-4,  x₂=1,  x₃=-2.

  

2.4 Анықталған интегралды есептеу

Көптеген математикалық құбылыстарды моделдеу анықталған интегралдарды есептеуді талап етеді. Сандық әдістер теориясынан интегралдарды жуықтап есептеу үшін Трапеция және Симпсон әдістері қолданылатыны белгілі.

MatLab-та трапеция әдісі үшін trapz функциясы қолданылады:

>> trapz(x,y);

Бұл функцияны қолдану үшін аргументтің (х-тің) мәндерін және оларға

сәйкес функцияның (у-тің) көрінісін беру керек.

Мысалы:    интегралды есептелік:

>> x=0: 0.1: 5;

>> y=sin(x).*exp(-x);

>> Integ=trapz(x,y)

      Integ=

                 0.5014

Мұнда алынған нәтеже х-тің өзгеру қадамына (мысалда 0,1-ге тең) байланысты болады, нәтиже дәлірек шығу үшін қадам кіші болу керек.

 

Ал интегралды есептеудің екінші – Симпсон әдісінде оны көрсетудің қажеті жоқ. Оны MatLab өзі есептейді. Мұнда   интегралды есептеу үшін quad(‘f’,a,b) функциясы қолданылады. Бірақ мұнда f(x) функцияны, егер ол элементарлық функция болмаса, алдын-ала MatLab-та сақтап қою керек, мысалы, fun1.m файлында интегралды есептеу үшін sinx∙e^-x функцияны төмендегіше сақтаймыз:

function y=fun1(x)

y=sin(x).*exp(-x);

Сосын MatLab-та

>> J=quad(‘fun3’,0.5)

      J=

           0.5023    нәтижені аламыз.

 

М-файлдар

         MatLab командасы топтарының ең  ыңғайлы тәсілі М-файлдарды қолдану болып табылады. Оларда команда жинауға болады, олардың бәрін бірден немесе бөлімдермен орындауға болады,  файлда сақтауға және бұдан былай қолдануға болады. М-файлдармен жұмыс істеу үшін М-файлдар редакторы арналған. Оның көмегімен өзіңнің функцияңды құруға және оларды шақыруға болады, сонымен қатар командалық терезеден де шақыруға болады. MatLab негізгі терезесінен File мәзірін ашыңыз және New пунктінен M-file подпунктін таңдаңыз. М-файл редакторлар терезесінен жаңа файл ашылады, ол келесі суретте бейнеленген. М-файлдың ашылуы жұмыс ортасындағы File менюіндегі Open пункті көмегімен орындалады, немесе М-файлдар редакторы көмегімен орындалады.  

       

            MatLab-та М-файлдар екі типті болады: файл-программалар (Script M-Files), командаларды жүйелі түрде ұстаушы, және файл-функция, (Function M-Files), пайдаланушылармен анықталатын функциялар жазылады.  

          Көп жағдайда MatLab-тың жұмысшы ортасында белгілі бір жұмыстарды атқару үшін көптеген командаларды ендіру қажет болады. Ал оларды келесі жолы тағы көрсету қажет болса, сол командаларды тағы да ендіру қажет болады. Бұл тек қана көп уақытты алып қана қоймай, қателіктер жіберуге де келіп соғуы мүмкін. Демек, сол командаларды сақтап қою қажеттігі туады. MatLab-та сондай құрал сценарий деп аталады. Сценарий дегеніміз мәтіндік файл болып, онда жоғарыда айтылған, орындалуы тиіс болған. MatLab командалары жазылған болады және міндетті түрде ол файлдың кеңейтілмесі бірғана m әрпінен тұруы тиіс. Сол себепті мұндай файл М-файл деп аталады.

         М-файлда кез келген  мәтіндік редакторда жазуға болады. Бірақ MatLab-та мұның үшін арнайы редактор бар және онда жұмыс істеу қолайлы. Себебі ол MatLab-тың арнайы функциялары мен сөздерін басқа түспен көрсетіп тұрады және әр қатар нөмірленген болады. Ол MatLab-тың File→New→M-file  мәзірлері арқылы немесе сол жақ шеттегі ақ парақ белгісін беру арқылы шақырылады.

          Сценарийдің ерекшелігі – М-файлдағы және MatLab-тың жұмысшы ортасындағы айнымалылар бір бүтін жұмысшы ортаны құрайды.

         Сценарий дайын болғасын оны компьютер жадына сақтау керек. Бұл m-файлды кез келген каталогта сақтау мүмкін. Дегенмен ол каталог  MatLab-қа белгілі болуы тиіс. Себебі жұмысшы ортада m-файл аты жазылып, ‘Enter’ басылғанда MatLab оны іздеп табады. Жаңа каталогты жасау үшін мына команданы береміз. File→Set Path. Бұл терезеде MatLab-та тіркелген барлық каталогтар тізімге қосу үшін: Add Folder →Создать папку командасын орындаймыз. Осылайша біздің жаңа каталогымыз тізімге қосылғасын, онда m-файлымызды сақтауға болады.

Дайын болған сценарийді жұмысшы ортадан шақыру үшін тек оның атын жазып (m бөлігі жазылмайды). ‘Enter’ басу керек.

Сценарийлерді пайдаланудың артықшылығы мен бірге кемшілігі де бар: оны әр қашан бір түрлі жұмысшы ортада шақыру қажет, демек жұмысшы орта өзгерген кезде оны шақыруға және парамертлердің мәндерін ендіруге болмайды. Кез келген уақытта шақыруға болатын және жұмысшы ортаға тәуелсіз болатын файл М-функциялар деп аталады.

Бұл мәтіндегі % белгісі комментарийді білдіреді және ол тек қана пайдаланушыға мәлімет беру үшін қолданылады, оны MatLab орындамайды. Мұнда арнайы айта кететін жай –  drawnow командасы. Ол тек қана сценарий немесе m-функцияда ғана қолданылады және ол сол мезетте график сызу керектігін көрсетеді. Басқаша айтқанда MatLab-тың жұмысшы ортасында жоғарыдағы командаларды берген кезде автоматты түрде графиктер сызылады. Ал сценарий мен m-функцияларда бұл командасыз өздігінен графиктер сызылмайды.

 

 M-файлдар жөндеуі

debug	Жөндеу командаларының тізімін көріп шығу
dbstop	Бақылау нүктесін  беру
dbclear	Бақылау нүктесін өшіру
dbcont	Орындалуды жалғастыру
dbdown	Үстіңгі жағынан төмен шақырылушы М-функциялардың стегіне өту
dbstack	Шақырылушы М-функциялардың стегі алып шығуОшибка! Элементы указателя не найдены.
dbstatus	Бақылау нүктелерінің тізімін көріп шығу
dbstep	Бір немесе бірнеше жөндеу командаларын орындау
dbtype	Нөмірленген жолдармен М-файлдарды басып шығару
Dbup	Төменгі  жағынан үстіге  шақырылушы М-функциялардың стегіне өту
dbquit	Жөндеуді аяқтап шығу

М-файлдардың кескінделуі

profile	М-файл уақыттарының профилі
pareto	Профиль туралы есептеу нәтижесі
promsum	Парето диаграммасы

  ҚОРЫТЫНДЫ

Қорыта келгенде өз жұмысымда қарастырған Matlab математикалық пакетімен таныстым. Matlab ортасы автоматтандырылған математикалық есептеулер жүйесі. Онда көптеген математикалық есептеулер тек дайын функцияларды пайдалану жолымен шешіледі. Бұл жүйенің артықшылығы, яғни құрамына енетін функцияларды М-файлдар түрінде жазылған бағдарламалар арқылы өзгертуге, қосымшалар енгізуге болады. Сондай-ақ сандық есептеулерден басқа графикалық функциялармен (екі өлшемді, үш өлшемді) орындауға болады.

Жұмыстың құрылымы кіріспеден, екі тараудан, пайдаланылған әдебиеттерден тұрады. Кіріспеде жалпы MatLab-тың шығу тарихы және қазіргі кездегі қолданылуы айтылған. Бірінші тарауда MatLab математикалық пакетінің негізгі мүмкіндіктері қарастырылады. Онда негізгі түсінік, қарапайым есептеулер, графикалық мүмкіндіктері көрсетілген. Екінші тарауда MatLab математикалық пакетін есептер шығаруда қолдану. Мұнда матрицалар, сызықтық теңдеулер жүйесін шешу, анықталған интегралды есептеу қарастырылды. MatLab математикалық пакетімен есептер шешу кезінде математикалық және графикалық мүмкіндіктерін үйреніп, өз жұмысымызда пайдаландық. Үшөлшемдік графика облысындағы бар болып жатқан мүмкіндіктеріне жалпы шолу жасалынды. Үшөлшемдік объектілерді бейнелеу үшін әр түрлі графикалық функциялар қолданылады. Оның негізгі мүмкіндіктері мен ерекшеліктері мынадай: егер жазықтықтағы фигуралар алып қарастырылса, онда түрлендіру матрицасының өлшемділігі үште-үш болады. Ал кеңістіктегі объекттер қарастырылса, онда түрлендіру матрицасының өлшемділігі төртте-төрт болады. Жұмыс барысында MatLab математикалық пакетін пайдаланып есептерді шығарудың өте жеңіл шешілетіні байқалды.

Жұмыстың мақсатына жеттім деп ойлаймын.