Задания для самостоятельной работы
§4. Интегрирование дробно-рациональных функций
Функция, заданная в виде отношения двух многочленов
называется рациональной функцией или рациональной дробью.
Если
рациональная
дробь
называется правильной;
в противном случае – неправильной.
Если дробь неправильная, то нужно выделить целую рациональную часть, используя алгоритм деления многочленов “углом”, и представить исходную дробь в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби.
Пример
1.
Выделить целую часть дроби:
Решение:
Таким
образом,
Любая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму конечного числа простейших рациональных дробей. Различают четыре типа таких дробей:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
при этом
предполагается, что трехчлен
не имеет вещественных корней.
Рассмотрим интегрирование дробей первых трёх указанных типов
2)
1)
3)
Четвертый тип вычисляется с использованием понижения степени k.
Всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй разлагается на линейные и квадратные множители с вещественными коэффициентами.
Каждому
неповторяющемуся множителю вида
отвечает в разложении простая дробь
,
каждому множителю
отвечает сумма k
простых дробей вида:
.
Неповторяющемуся
множителю
отвечает одна простая дробь
,
где A1,
A2,
…, Ak,
C,D
- числовые коэффициенты.
Для определения последних коэффициентов прибегают к методу неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем:
1)
записывают дробь
в виде суммы простых дробей; дроби
приводят к общему знаменателю; умножают
обе части равенства на
,
вследствие чего получают равенство
двух многочленов - слева многочлен
с
известными коэффициентами, а справа
многочлен с неизвестными коэффициентами;
2) приравняв у них коэффициенты при одинаковых степенях x, получают систему линейных алгебраических уравнений.
Пример
2.
Разложить на простые дроби следующую
дробь:
.
Решение:
Таким образом,
Пример 3. Разложить на простые дроби следующую дробь:
.
Решение:
()
В
рассматриваемом примере некоторые
коэффициенты можно определить методом
частных значений. Для этого положим,
,
и
подставим вместо x
их в равенство ()
Для определения C и D сравним коэффициенты при х2 и х3.
Таким
образом,
Пример
4.
Найти интеграл:
.
Решение: подынтегральная дробь – неправильная. Выделим целую часть; для этого делим числитель на знаменатель:
таким
образом,
.
Имеем:
Пример 5.
Найти интеграл:
.
Решение. Данная дробь – правильная. Разлагаем знаменатель на множители:
.
Числитель не делится ни на один из этих множителей, так что дробь не сокращается. Все множители – первой степени и ни один не повторяется.
Способом,
указанным в примере 2, находим
Получаем:
Пример 6.
Найти интеграл:
.
Решение. Представим дробь в виде суммы дробей и определим коэффициенты способом, указанным в примерах 2, 3:
Получаем разложение данного интеграла:
