Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях первого порядка

1. Общие сведения

В установившемся режиме работы электрических цепей напряжения и токи либо не изменяются во времени (цепи постоянного тока), либо являются периодическими функциями времени (цепи переменного тока). Процессы, протекающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима в другой, называются переходными. Переход от одного режима работы к другому может быть вызван изменением параметров цепи (подключением или отключением элементов электрической цепи) и называется коммутацией. В электротехнике коммутации осуществляются с помощью идеализированных ключей, переключение которых происходит мгновенно, сопротивление в положении “включено” равно нулю, а в положении “выключено” бесконечно (рис 1, а). Для коммутации могут так же использоваться двунаправленные ключи (рис 1, б). Для удобства полагают, что коммутации в электрических цепях происходят в момент времени t=0.

В

а) б)

Рис. 1. Варианты ключей, используемых для коммутаций в электрических цепях

электрических цепях с активными нагрузками переходные процессы протекают мгновенно из-за отсутствия накопителей энергии. При наличии в электрической цепи реактивных элементов – индуктивностей или емкостей или одновременно и индуктивностей и емкостей – переходные процессы протекают в течение некоторого интервала времени, так как магнитная W_L=Li²/2 и электрическая W_E=Cu²/2 энергии индуктивности и емкости не могут изменяться мгновенно. Из непрерывности изменения магнитного поля катушки индуктивности и электрического поля конденсатора вытекают два закона коммутации.

1. Ток через индуктивность в момент времени t=0_– до коммутации равен току в момент времени t = 0₊ после коммутации .

2. Напряжение на емкости до коммутации и после коммутации равны .

Теоретически переходные процессы протекают бесконечное время, практически их длительность ограничивают интервалом, в течение которого токи и напряжения в электрической цепи достигают некоторого уровня от установившегося значения.

До начала коммутации при электрическая цепь находилась в установившемся режиме, который характеризуется начальными условиями – значениями токов и напряжений реактивных элементов. Значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации образуют независимые начальные условия, которые используются при решении задач расчета переходных процессов. Начальные условия могут быть нулевыми:

(1)

или не нулевыми:

а) ; (2)

б) ; (3)

в) . (4)

При нулевых начальных условиях в момент коммутации индуктивность можно рассматривать как разрыв, а емкость как короткое замыкание. В случае не нулевых начальных условий индуктивность представляет собой источник тока , а емкость источник ЭДС . Значения и определяются в установившемся режиме с использованием законов Ома и Кирхгофа. При этом в случае электрических цепей постоянного тока индуктивность заменяется короткозамкнутым участком, а емкость – разрывом, а для нахождения начальных условий в электрических цепях синусоидального тока применяется символический метод расчета.

Задача анализа переходных процессов заключается в нахождении функций, описывающих изменения токов и напряжений во всех или некоторых ветвях электрической цепи, наступающих после коммутации (при ). Существует несколько методов расчета переходных процессов в линейных электрических цепях. Наиболее фундаментальным и наглядным является классический метод, заключающийся в составлении и решении интегро-дифференцальных уравнений на основе соотношений для мгновенных значений токов и напряжений в R, L, C элементах.

.

Порядок дифференциального уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов. Дифференциальные уравнения I-го порядка (n=1) описывают переходные процессы в электрических цепях с одним реактивным элементом (RL и RC – цепи). Примеры RL и RC цепей первого порядка показаны на рис. 2. При n=2 электрическая цепь содержит L и C элементы и переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями II-го порядка.