2 Синтез цифрового фильтра Баттерворта четвертого порядка методом инвариантности ачх

Следует иметь в виду, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтра могут быть одинаковыми (точнее примерно одинаковыми) только в ограниченном интервале частот из-за периодичности, связанной с дискретизацией цифрового сигнал. Другими словами бесконечный интервал аналогового фильтра должен быть преобразован в отрезок цифрового фильтра при сохранении общего вида характеристики. Для такого преобразования часто используют билинейное преобразование вида:

_{, (5)}

_причем

_{, (6)}

где – интервал дискретизации; если частота дискретизации достаточно велика, т.е. , то , что и требуется.

В соответствии с заданием необходимо синтезировать ФНЧ Баттерворта 4-го порядка с частотой среза 1500 Гц; частота дискретизации – 40 кГц.

1. Найдем интервал дискретизации:

_с.

2. _{Найдем циклическую частоту среза цифрового фильтра:}

рад/с.

3. _{Найдем частоту среза аналогового фильтра-прототипа согласно (6):}

_рад/с.

4. _{Запишем передаточную функцию ФНЧ Баттерворта 4-го порядка относительно нормированной частоты [4]:}

_или

_.

_{Тогда для истинной (ненормированной) комплексной частоты можно записать:}

_.

5. _{Выполним билинейное преобразование согласно (5):}

_.

_{После преобразования этого выражения получим:}

.

_{Численный расчет коэффициентов выполнен в программе Mathсad (приложение А). В обозначениях (3) и (4) рассчитанные значения коэффициентов составили:}

;

;

;

;

;

;

;

;

.

_{Окончательно перепишем (3) с учетом найденных значений коэффициентов:}

_{. (7)}

3 Моделирование прохождения сигналов через фильтр

3.1 Моделирование прохождения через цифровой фильтр периодической последовательности симметричных прямоугольных импульсов

В соответствии с заданием рассмотрим прохождение отсчетов входного периодического сигнала прямоугольной формы с частотой 1 кГц через цифровой фильтр.

Расчет выходного отфильтрованного сигнала по формуле (7), расчет спектров входного и выходного сигналов и построение графиков проведены в программе MS Excel. На рисунке 1 показаны входной и выходной сигналы, на рисунке 2 – спектр входного сигнала, на рисунке 3 – спектр выходного сигнала.

Рисунок 1 – Входной и выходной сигналы

По рисункам видно, что при прохождении прямоугольного сигнала через цифровой ФНЧ происходит сглаживание фронтов из-за фильтрации высших гармоник входного сигнала. В данном случае через фильтр в основном проходит только первая гармоника (т.к. его частота среза больше частоты первой гармоники и меньше частоты второй гармоники), поэтому выходной сигнал близок к гармоническому сигналу (небольшое отличие выходного сигнала от синусоиды обусловлено неидеальностью фильтра).

Рисунок 2 – Спектр входного сигнала

Рисунок 3 – Спектр выходного сигнала

Следует также отметить, что во входном сигнале присутствуют и высшие гармоники с частотами выше половины частоты дискретизации, которые дадут дополнительную ошибку из-за эффекта наложения спектров; однако эта ошибка незначительна, т.к. амплитуда гармоник убывает с ростом частоты, а в данном случае частота дискретизации достаточно велика (половина частоты дискретизации соответствует 20-й гармонике входного сигнала).