Содержание

Введение 2

1 Общие вопросы синтеза цифровых фильтров 3

2 Синтез цифрового фильтра Баттерворта четвертого порядка

методом инвариантности АЧХ 6

3 Моделирование прохождения сигналов через фильтр 10

3.1 Моделирование прохождения через цифровой фильтр

периодической последовательности симметричных прямоугольных

импульсов 10

3.2 Моделирование прохождения через цифровой фильтр

тригармонического сигнала 12

Заключение 14

Список литературы 15

Приложение А. Расчет коэффициентов цифрового фильтра в программе Mathcad 16

Введение

Цифровая фильтрация, являясь широким подклассом задач цифровой обработки сигналов, применяется практически в любых современных устройствах радиоэлектроники и связи. Соответственно синтез цифровых фильтров является одной из распространенных инженерных задач.

Технологически задача синтеза цифрового фильтра сводится к расчету коэффициентов фильтра, зная которые, можно вычислить выходной сигнал в зависимости от входного. Из теории линейных систем известно, что по физическому смыслу указанные коэффициенты являются отсчетами импульсной характеристикой цепи, сам же алгоритм вычисления выходного сигнала сведется в этом случае к вычислению свертки. [1, 2]

В инженерной практике, исходными данными для расчета фильтров обычно являются требования к частотным, а не временным характеристикам, поэтому используются методы, позволяющие синтезировать цифровой фильтр по различным видам исходных данных.

Настоящая курсовая работа посвящена синтезу рекурсивного цифрового фильтра Баттерворта четвертого порядка методом инвариантности частотных характеристик.

1 Общие вопросы синтеза цифровых фильтров

Как отмечалось во введении, сигнал на выходе любой линейной системы может быть рассчитан в виде свертки входного сигнала и импульсной характеристики цепи, где под импульсной характеристикой понимается отклик системы на дельта-функцию. Физический смысл этого утверждения состоит в следующем. Т.к. система является линейной, то для нее справедлив принцип суперпозиции, т.е. если входной сигнал является линейной комбинацией неких более простых сигналов, то сигнал на выходе также является линейной комбинацией (с теми же коэффициентами) реакций (откликов) на отдельные слагаемые входного сигнала. Очевидно, любой сигнал можно представить в виде бесконечной суммы (т.е. для непрерывной функции интеграла) масштабированных и сдвинутых на малый интервал времени дельта-функций; соответственно цифровой сигнал может быть представлен в виде обычной суммы масштабированных и сдвинутых во времени на интервал дискретизации цифровых дельта-функций (цифровая или квантованная по уровню дельта функция отличается от обычной дельта-функции тем, что ее значение при равно единице, а не бесконечности). Тогда выходной сигнал фильтра может быть представлен в виде масштабированных и сдвинутых во времени откликов на дельта функцию. А т.к. отклик на дельта-функцию и является импульсной характеристикой, то сигнал на выходе цифрового фильтра может быть представлен как сумма масштабированных (отсчетами сигнала) и сдвинутых (на кратные интервалу дискретизации отрезки) отсчетов импульсной характеристики, а это и есть свертка.

Если сигнал на выходе фильтра зависит только от входного сигнала, но не зависит от предыдущих значений выходного сигнала, то такой фильтр называется трансверсальным или нерекурсивным. Очевидно, для нерекурсивного фильтра импульсная характеристика является конечной. Если текущее значение выходного сигнала фильтра зависит и от входного сигнала и от предыдущих значений выходного сигнала, то такой фильтр называют рекурсивным. Импульсная характеристика рекурсивного фильтра может быть и конечной и бесконечной.

Сигнал на выходе нерекурсивного цифрового фильтра может быть записан в виде:

, (1)

где – коэффициенты; – порядок фильтра.

Системная функция фильтра, представляющая собой Z-преобразование импульсной характеристики, очевидно, может быть записана в виде:

, (2)

Коэффициенты имеют смысл отсчетов импульсной характеристики. [2, 3]

Сигнал на выходе рекурсивного цифрового фильтра может быть записан в виде:

, (3)

а его системная функция имеет вид:

_{, (4)}

где _, – коэффициенты. Для оценки стабильности рекурсивного фильтра имеется простой критерий: нужно, чтобы системная функция была сходящейся, а это возможно, если все ее полюса (т.е. такие значения z, при которых знаменатель в (3) обращается в ноль) находились внутри единичной окружности на комплексной плоскости. [3, 4]

Очевидно, если все коэффициенты равны нулю, то формулы (3) и (4) обращаются в формулы (1) и (2), а рекурсивный фильтр – в нерекурсивный.

В зависимости от исходных данных и типа поставленной инженерной задачи применяют различные способы синтеза цифровых фильтров (расчета коэффициентов и ): метод инвариантности импульсной характеристики, метод инвариантности частотных характеристик, метод дискретизации дифференциального уравнения цепи и др. Перечисленные методы предполагают наличие у цифрового фильтра аналогового прототипа.

Метод инвариантности частотных характеристик, как следует из названия, состоит в обеспечении одинаковости (в допустимых пределах) частотных характеристик аналогового прототипа и синтезируемого цифрового фильтра. Исходными для синтеза данными в этом случае является описание частотных характеристик (либо и АЧХ и ФЧХ, либо только АЧХ, если ФЧХ может быть произвольной) аналогового прототипа. Описание характеристик может быть сделано либо в терминах допустимых ослаблений, неравномерностей частот среза и т.п.; либо в виде заданных типа и порядка аппроксимации характеристик. Первый случай сводится ко второму путем подбора аппроксимирующей функции и оценки требуемого порядка фильтра