1.1.2 Теорія множин

Теорія множин – розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона є фундаментом ряду нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики.

Сучасні дослідження теорії множин була започатковані Георгом Кантор і Ріхардом Дедекіндом в 1870-х роках. Після відкриття парадоксів наївної теорії множин, на початку XX століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою єсистема Цермело-Френкеля, з аксіомою вибору.

До другої половини 19 століття поняття «множини» не розглядалося як математичне («множина книг на полиці», «множина людських чеснот» і т. д. — все це суто побутові мовні звороти). Становище змінилося, коли німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-який математичний об'єкт мав бути тією або іншою «множиною». Цей підхід викладений у двох його статтях, опублікованих у 1879–1897 роках у відомому німецькому журналі «Mathematische Annalen».

Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому відомих математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням Леопольд Кронекер, який вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше — справа рук людських»).

Проте незабаром з'ясувалося, що спрямування Кантора на відсутність обмежень при операціях з множинами (виражене ним самим у принципі «суть математики полягає в її свободі») недосконала із самого початку; а саме, було знайдено ряд теоретико-множинних антиномій: виявилося, що при використанні теоретико-множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведені разом зі своїми запереченнями (а тоді, відповідно до правил класичної логіки висловлень, може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження). Антиномії ознаменували собою повний провал програми Кантора.

В основі теорії множин лежать первинні поняття: множина та елемент множини. Елемент множини перебуває щодо множини у відношенні бути елементом множини. Серед похідних понять найважливішими є наступні:

• порожня множина – множина, яка не містить елементів;

• підмножина і надмножина – множина, яка складається тільки з елементів іншої множини, та множина, до якої належать усі елементи іншої множини;

• сімейство множин;

• простір (універсум) – множина, що є надмножиною всіх множин;

• конституента.

Над множинами визначені наступні операції:

• об'єднання (або сума) – множина, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин;

• перетин (або добуток) – множина, яка складається з усіх елементів першої множини, які одночасно належать і другій множині та навпаки;

• різниця – множина з елементів першої множини, які не належать другій множині;

• симетрична різниця – множина елементів, які містяться в одній з двох множин, але не в обох;

• доповнення – множина,  яка складається з усіх елементів, які не належать множині, але які належать універсальній множині;

• декартовий добуток – множина усіх можливих впорядкованих пар, у яких перша компонента належить першій множині, а друга компонента – другій множині.

Для множин визначені наступні бінарні відношення:

• відношення рівності;

• відношення включення[6].

Сьогодні теорія множин - це математична теорія, на якій грунтується

більшість розділів сучасної математики, як неперервної, так і дискретної.