3. Математическая модель схемы

Для получения математической модели в соответствии с ТЗ воспользуемся табличным методом ее формирования. Базис табличного метода составляют напряжения всех ветвей и токи всех ветвей.

α – число ветвей

- число неизвестных

Мы можем записать α компонентных уравнений, остальные α уравнений записываются из М-матрицы.

Итого получаем:

,

где ,

Алгоритм построения М-матрицы:

1. Строим эквивалентную схему.

2. Указываем направления тока в ветвях.

3. Строим граф эквивалентной схемы.

4. Строится остовное дерево графа.

5. Поочередно в состав ветвей дерева включается каждая хорда (при этом обязательно будет образовываться замкнутый контур). Выполняем обход контура в направлении, заданном включенной хордой. В строке матрицы, соответствующей данной хорде, для ветвей дерева, направление которых совпадает с направлением обхода контура ставится (+1); с противоположным направлением – (-1); для не вошедших в контур ветвей – 0.

Для записи уравнений по М-матрице выполняем сканирование по строкам, сохраняя знаки, потом столбцам, инвертируя знаки.

4. Выбор алгоритмов решения математической модели

В основе метода уравнение равновесия:

Для решения СНАУ (2.1) математической модели заданной схемы воспользуемся методом Ньютона:

Решение СЛАУ (2.2) будем выполнять методом Гаусса.

5. Метод Ньютона.

Математической основой метода является линеаризация функций F₁, F_{2 ,} … , F_n путем разложения их в ряд Тейлора в окрестности точки начального приближения к решению и пренебрежением всеми членами ряда кроме линейных относительно приращений переменных.

Для функции одной переменной разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки (x = x₀) выглядит так:

(2.4)

Д ля функции F₁ (x₁, x₂, … , x_n ) от n-переменных линейная часть разложения в ряд Тейлора в окрестности точки (x₁₀, x₂₀, … , x_n0 ) получается аналогичным образом:

(2.5)

Введем следующие обозначения:

• 

• – значение 1-ой частной производной j-ой функции по переменной в точке ;

• 

После преобразования получим систему линейных уравнений порядка  n относительно приращения переменных :

(2.6)

И ли, в матричной форме,

(2.7)

В сокращенном виде можно записать так - (F')(Δx) = -(F).

Решение этой системы дает вектор поправок к начальному приближению. Сложение его с вектором начального приближения дает новые, уточненные значения переменных для следующей итерации. 

(2.8)

Итерационная процедура далее продолжается аналогично.

В итоге можно формализовать алгоритм решения задачи методом Ньютона, который предствлен на рисунке 2.3:

Рис.2.4 Схема решения табличным методом.

6. Метод Эйлера

Для интегрирования системы ОДУ будем использовать метод Эйлера. В этом методе решается следующая задача:

Имеется функция времени , которая определена в дискретные моменты времени . Требуется найти производную в те же моменты времени.

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод является явным одно шаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией, т.е. ломанной Эйлера.

Таким образом, общий вид алгоритма программы представлен на рисунке 2.4. В эту схему включен общий вид решения математической модели.

Рис.2.4 Схема решения табличным методом.