Список литературы

CITATION Сан15 \l 1049 : , (Санкт-Петербургский парадокс, 2015),

CITATION Пуг14 \l 1049 : , (Пугачева А.С., 2014),

CITATION Фин13 \l 1049 : , (Финансовая безопасность, 2013),

CITATION Кук14 \l 1049 : , (А.А., 2014),

CITATION Сен05 \l 1049 : , (Сенчагов, 2005),

CITATION Эко14 \l 1049 : , (Экономическая безопасность России - 1 часть),

CITATION ВЛТ05 \l 1049 : , (В.Л., Экономическая безопасность хозяйственных систем: структура, проблемы, 2005),

CITATION ВАС07 \l 1049 : , (В.А., 2007),

CITATION Эко141 \l 1049 : , (Экономическая безопасность, 2014),

CITATION Юри15 \l 1049 : , (Корчагин),

Приложение 1 Разрешение Петербургского парадокса Разрешение через ограничения реального мира

Приведём оценки для решений парадокса через ограничение количества игр и времени.

Вероятность того, что в определённой игре количество бросков превысит некоторое n, равна (½)ⁿ. Пусть игрок может сыграть не более k игр. Тогда вероятность того, что количество бросков хотя бы в одной игре превысит n, равна  . Для больших n она приближённо равна k/2ⁿ.

Будем считать, что событие, имеющее вероятность меньше некоторого p, не произойдёт никогда. Тогда «реальное» количество бросков не превышает  . При таком допущении средний выигрыш за одну игру приближёно равен:

 где 

То есть, средний выигрыш равен 

Например, для 1000 игр и p=10^-6 получаем средний выигрыш около 15.

Разрешение через функцию полезности

Другой вариант разрешения — через функцию полезности денег. Рассматривая выпуклую функцию предельной полезности (часто — логарифмическую), мы снова достигаем конечность её математического ожидания (англ.).

Так, если считать, что для игрока важно увеличение не на некоторое кол-во денег, а в некоторое кол-во раз, то он оценивает выигрыш с точки зрения логарифмической функции полезности: он хочет максимизировать  , где X — выигрыш, а   — вклад в игру. При этом в классической постановке парадокса мат. ожидание полезности становится конечным:

Откуда легко получить справедливую стоимость игры:  .

Это решение можно усовершенствовать, рассматривая полезность выигрыша с точки зрения увеличения уже имеющегося капитала игрока w (миллиардеру прирост в $ 1000 не так желателен, как нищему), однако это лишь немного изменяет ответ.

При этом можно так изменить систему выплат, что и данное решение будет неприемлемо: для каждой неограниченной функции полезности существует такая последовательность выплат за выпадение орла на i-том шаге, что ожидаемая полезность тоже будет равна бесконечности.

Взвешенные вероятности

Сам Николай Бернулли предложил другую идею для разрешения парадокса. Он обратил внимание, что люди пренебрегут маловероятными событиями. Поскольку в Санкт-Петербургском парадоксе лишь маловероятные события приносят высокие выигрыши, которые ведут к бесконечному значению математического ожидания выигрыша, это может помочь разрешить парадокс.

Идея взвешенных вероятностей появилась вновь много позднее в работе над теорией перспектив Даниеля Канемана и Амоса Тверски. Однако, их эксперименты показали, что люди, совершенно наоборот, склонны преувеличивать вес отдельных маловероятных событий. Возможно, именно поэтому предложенное Николаем Бернулли решение некоторыми рассматривается как совершенно удовлетворительное.

Совокупная (кумулятивная) теория перспектив является одним из распространенных обобщений теории ожидаемой полезности, которое может предложить объяснения многим поведенческим закономерностям. Однако, преувеличение веса маловероятных событий, вводимое в совокупной теории перспектив, может восстановить Санкт-Петербургский парадокс. Совокупная теория перспектив разрешает парадокс только для случаев, когда показатель функции полезности меньше показателя функции взвешенной вероятности (Блаватский, 2005). Интуитивно, для разрешения парадокса, функция полезности должна быть не просто вогнутой, а она должна быть вогнутой относительно функции взвешенной вероятности.