21. Коллинеарные и компланарные вектора. Условия коллинеарности и компланарности.
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Условие коллинеарности векторов 1.
Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b
Условия коллинеарности векторов 2.
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.
Условия коллинеарности векторов 3.
Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.
22. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(αa) · b = α(a · b)
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
23. Угол между двумя векторами. Ортогональные векторы. Примеры.
Углом
между двумя ненулевыми векторами
называется угол между равными им
векторами, имеющими общее начало, не
превосходящий по величине числа
.
Пусть в пространстве даны два ненулевых
вектора 
и 
(рис.1.22).
Построим равные им векторы 
и 
.
На плоскости, содержащей лучи 
и 
,
получим два угла 
.
Меньший из них, величина 
которого
не превосходит 
,
принимается за угол
между векторами
и
.
Поскольку направление нулевого вектора
не определено, то не определен и угол
между двумя векторами, если хотя бы один
из них нулевой. Из определения следует,
например, что угол между ненулевыми
коллинеарными векторами либо равен
нулю (если векторы одинаково направлены),
либо равен
(если
векторы противоположно направлены).
Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Определение.
Два вектора называются
ортогональными, если угол междуними
равен прямому углу, т.е. 
.
Обозначение: 
–
векторы 
и 
ортогональны.
Определение.
Тройка векторов 
называется
ортогональной, если эти векторы попарно
ортогональны друг другу, т.е. 
, 
.
Определение.
Тройка векторов
называется
ортонормированной, если она ортогональная
и длины всех векторов равны
единице: 
.
Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.
Определение.
Упорядоченная некомпланарная
тройка векторов
,
отложенных от одной точки, называется
правой (правоориентированной), если при
наблюдении с конца третьего вектора 
на
плоскость, в которой лежат первые
два вектора
и
,
кратчайший поворот первого вектора
ко
второму
происходит
против часовой стрелки. В противном
случае тройка векторов называется
левой (левоориентированной).
рис.6.
Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :
рис.7.
Определение.
Базис
векторного пространства 
называется
ортонормированным, если 
ортонормированная
тройка векторов.
Обозначение.
В дальнейшем мы будем пользоваться
правым ортонормированным базисом 
,
см. следующий рисунок:
рис.9.
Любой вектор можно разложить по этому базису:
.