44.Бесконечно большая функция. Бесконечно малые функции. Определения и основные теоремы.

Расстановка ударений: БЕСКОНЕ`ЧНО БОЛЬША`Я ФУ`НКЦИЯ

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ - функция переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

Напр.,

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функций, т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) является бесконечно малой.

Функция α (x) называется бесконечно малой при  , если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при  .

• Если  , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

• Если  , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

• Если  , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка nотносительно функции β (x);

• Если  , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при  .

• Теорема. Если   — бесконечно большая последовательность и все ее элементы отличны от нуля ( ), то последовательность   — бесконечно малая, и наоборот, если  — бесконечно малая последовательность и все ее элементы отличны от нуля ( ), то последовательность  =  — бесконечно большая.Доказательство. Докажем первое утверждение теоремы. Пусть   — бесконечно большая последовательность, т.е. для любого   найдется номер элемента последовательности   такой, что для всех   выполняется соотношение  . Требуется доказать, что последовательность   — бесконечно малая.Зададим произвольное  . Покажем, что существует   такое, что для всех   выполняется соотношение  . Возьмем  . По определению бесконечно большой последовательности, начиная с   все элементы последовательности удовлетворяют соотношению  . Следовательно, начиная с   выполняется  или  . Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.Теорема. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.Доказательство. Пусть   и   — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что последовательности   также бесконечно малые. Зададим произвольное  . По определению бесконечно малых последовательностей существуют   и   такие, что для всех  :   и для всех  :  . Возьмем  , тогда для всех  :  . Что и требовалось доказать.Следствие. Сумма или разность любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Теорема. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Доказательство. Пусть   и   — две бесконечно малые последовательности. Покажем, что   также бесконечно малая. Зададим произвольное  . Так как   — бесконечно малая, то существует   такое, что для всех  :  . Так как   — бесконечно малая, то существует   такое, что для всех  :  . Возьмем  , тогда для всех  :  . Что и требовалось доказать.Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.Замечание. Теорема о сумме и разности не имеет аналога для бесконечно больших последовательностей. Действительно, сумма двух бесконечно больших последовательностей в общем случае может быть какой угодно. Например,   — ограниченная последовательность ;   — бесконечно большая последовательность ;   — бесконечно малая последовательность .Замечание. Теорема о произведении обобщается на случай бесконечно больших последовательностей.Замечание. Частное двух бесконечно малых (больших) последовательностей может быть последовательностью, сходящейся к любому числу, а может и не сходиться вовсе. Например, если  ,  , то   — бесконечно большая последовательность;   — бесконечно малая последовательность.Теорема. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.Доказательство. Пусть   — ограниченная последовательность, а   — бесконечно малая. Покажем, что   — бесконечно малая. Зададим произвольное  . Так как   — ограниченная последовательность, то существует   такое, что  . Так как   — бесконечно малая, то существует   такое, что для всех  :  . Тогда для всех  :  . Что и требовалось доказать.Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

45.Основные теоремы о пределах (сумма пределов, произведение пределов, предел дроби и т.д.). Первый и второй замечательные пределы.

46.Эквивалентные бесконечно малые функции. Применение при вычислении пределов.

47.Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация.

48.Основные элементарные функции и их графики.

49.Основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

50.Производная функции. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.

51.Производная суммы, разности, произведения и р

52 .Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

53.Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

54.Производные высший порядков (заданных явно, параметрически, неявно).

55.Дифференциал функции. Таблица дифференциалов.

56.Исследование функций при помощи производных (возрастание и убывание функции, точки экстремума, выпуклость функции, асимптоты).

57.Правила Лопиталя (раскрытие неопределенности( ).

58.Общая схема исследования функции и построения графика.

59. Комплексные числа. Основные понятия. Геометрическое изображение и форма записи комплексного числа.

60.Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

61.Неопределенный интеграл. Понятие и свойства неопределённого интеграла.

62.Таблица основных неопределенных интегралов.

63.Основные методы интегрирования (метод непосредственного интегрирования, метод интегрирования подстановкой)

64.Основные методы интегрирования. Метод интегрирования по частям.

65.Интегрирование рациональных дробей. Интегрирования простейших рациональных дробей.

66.Интегрирование тригонометрических функций (универсальна подстановка, использование тригонометрических преобразований).

67. Интегрирование иррациональных функций (дробно –линейная подстановка, тригонометрическая подстановка)

68. Интегрирование дифференциального бинома .

69.Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

70. Основные свойства определенного интеграла.

71.Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Интегрирование подстановкой. Интегрирование по частям.

72. Даны вершины треугольника. Найти внутренний угол при вершине В.

73. Найти площадь треугольника с вершинами.

74. Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах и .

75. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

76. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

77. Решить систему линейных уравнений матричным способом.

78. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и (с помощью элементов векторной алгебры).

79. Найти объём параллелепипеда, построенной на трех векторах .

80. Вычислить определитель различными способами.

81. Найти матрицу обратную данной

82.Найти угол между векторами .

83. Доказать, что четыре точки О, А, В , С лежат в одной плоскости.

84. Найти произведение матриц А и В (если это возможно).

85. Привести матрицу к ступенчатому виду.

86. Найти ранг матрицы.

87. Составить уравнение сторон треугольника АВС.

88. Уравнение прямой привести к различным видам(уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение прямой в отрезках, нормальное уравнение прямой).

89.Найти точку пересечения прямых и угол между ними.

90.Определить вид линии и построить её.

91.Найти производные данных функций.

92.Найти пределы.

93.Исследовать данную функцию и построить график.

94. Найти пределы правилом Лопиталя.

95. Найти дифференциал.

96. Вычислить интеграл.

97. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

98. Найти экстремумы функции.

99.Определить промежутки возрастания и убывания функции.

100.Вычислить определенный интеграл.

Зав. кафедрой

алгебры и геометрии Гачаев А.М.

Составитель доцент кафедры Тумгоева Х.А.

алгебры и геометрии

37