38. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Рассмотрим две плоскости   заданные соответственно уравнениями:

и

Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов, образованных этими плоскостями (рис. 85). Угол  между нормальными векторами и   плоскостей   очевидно равен одному из указанных смежных двугранных углов (рис. 85). Поэтому

(см. гл. III, формула (71)).

Но так как

то

Пример 1. Определить угол между плоскостями 

Решение. Применяя формулу (7), получим

Из таблицы находим, что   Итак, один из смежных двугранных углов приближенно равен 

Рассмотрим теперь условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости   тогда и только тогда параллельны друг другу, когда их нормальные векторы   параллельны между собой. Поэтому из условия параллельности двух векторов (см. гл. III, формула (64)) получим

Это и есть условие параллельности двух плоскостей. Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны.

Условие перпендикулярности.

Две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда их нормальные векторы   взаимно перпендикулярны. Поэтому, воспользовавшись условием перпендикулярности двух векторов (см. гл. III, формула (69)), получим

Равенство (9) дает условие перпендикулярности двух плоскостей. Итак, две плоскости перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда сумма парных произведений одноименных коэффициентов при текущих координатах равна нулю.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку   параллельно плоскости 

Решение. Напишем уравнение связки плоскостей, проходящих через точку   (см. формулу  ):

Из плоскостей связки нам нужно выделить ту, которая параллельна на плоскости   Для этого воспользуемся условием (8) параллельности плоскостей:   Итак, искомые коэффициенты А, В и С должны быть пропорциональны числам   Поэтому можно положить  . Подставляя найденные значения коэффициентов А, В и С в уравнение

получим

или, после упрощений,

Это и есть уравнение искомой плоскости.

39.Уравнения прямой в пространстве(каноническое; параметрическое; общее уравнение; проходящей через две точки).

40.Множества. Действительные числа (основные понятия, числовые множества, промежутки, окрестность точки).

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х²+2х+2=0, о множестве всех натуральных чисел и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы — малыми буквами a, b,... ...,х,у,...

Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х X; запись хХ или х X означает, что элемент х не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ø.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0≤х≤2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0 ≤ х ≤ 2.

Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АВ («А включено в В») или ВА («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АВ и ВА. Другими словами, множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.

Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А∩В (или А*В). Кратко можно записать А∩В={х:хєА и хєВ}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

Α   ß — означает «из предложения α следует предложение ß»;

Α  ß — «предложения α и ß равносильны», т. е. из α следует ß и из ß следует α;

 — означает «для любого», «для всякого»;

 — «существует», «найдется»;

: — «имеет место», «такое что»;

 — «соответствие».

Например:  1) запись  x А:α означает: «для всякого элемента х А имеет место предложение α»; 2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b—дейсвительнее числа,причем a<b.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} — отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); (a; ) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток); [a;b) = {х : а ≤ х < b}; (a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); (-∞; b] = {х : х ≤ b};                            [α, +∞) = {х : х ≥ α}; (-∞; b) = {х :  х <b};                         (а, +∞) = {х : х > а}; (-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть х_о—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (х_о-ε,х_о+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х_о. Число х_о называется центром.

 

Если х(х₀-ε; х₀ +ε), то выполняется неравенство x₀-ε<х<х ₀+ε, или, что то же, |х-х _о|<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х_о (см. рис. 97).