Лекция 11. Постулаты теории инфологической сложности

Определение. Две задачи изаписанные на одном и том же множестве переменных, эквиваленты, если выполняющие их наборы суть одно и тоже множество либо обе задачи не выполнимы.

Определение. Выполнимая задача B называется ослаблением выполнимой задачи A, если часть (пустую или нет) или все условия задачи A заменить их следствиями (хотя бы одним следствием).

Замечание. Замена пустой части условий следствиями означает присоединение следствий.

ПОСТУЛАТ 1.

1а. Инфологическая сложность любой задачи, сформулированной как задача отыскания произвольного выполняющего набора на множестве булевых переменных, есть целое неотрицательное число.

1b. Инфологическая сложность любой задачи A(x), формализованной на основе единственной переменной , не выше 2.

1c. Всякая выполнимая ослабленная задача имеет инфологическую сложность, не превосходящую сложность исходной выполнимой задачи.

Замечание. Невыполнимая задача в общем случаем может содержать невыполнимую часть в качестве собственного подмножества. Указатьa priori, какова эта часть в общем случае, не решая задачу, нельзя. Однако невыполнимость этой части достаточна для того, чтобы игнорировать оставшуюся часть задачи и не принимать во внимание содержащиеся в ней инфы. Для выполнимых задач это невозможно ввиду того, что инфы представляет не зависимые от других простейшие условия.

Следствие. Любая выполнимая задача содержит число инфов не меньшее, чем любая ее ослабленная задача.

Обоснование п. 1с постулата 1 видеть можно в том, что в силу теоремы вероятность выполнимости ослабленной задачи не меньше вероятности выполнимости исходной задачи, а отбрасывание части дизъюнктов только увеличивает вероятность выполнимости оставшихся. Мы стоим на позиции, что чем больше вероятность выполнимости задачи, тем легче эта задача (менее сложна!).

Операция устранения литеры

Рассмотрим следующую систему дизъюнктов:

S=

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

(11.1)

Операция резолюции (резолюционирования) двух дизъюнктов, содержащих контрарную пару литер, скажем и, состоит в порождении резольвенты – дизъюнкта, в котором присутствуют все литеры, входящие в родительские дизъюнкты, кромеи.

Пример. Пусть ,. Их резольвентой будет дизъюнкт(иустранены).

Можно показать, что резольвента есть логическое следствие изи, т.е.

.

Следовательно, в силу постулата 1, п. 1c присоединение резольвент к системе не увеличивает ее сложность (т.е. не приводит к увеличению числа инфов). Более того, отбрасывание части дизъюнктов при этом еще более упрощает задачу. Оказывается, можно полностью избавиться от какой-нибудь литеры (), перейдя от системыS к новой системе , которая не содержит ни, ни, но эквивалентнаS в следующем смысле (в смысле H-эквивалентности): S и H-эквивалентны, если и только если:

(a) записана с помощью собственного подмножества литерS;

(b) любая выполняющая интерпретация для S содержит выполняющую интерпретацию для , а любая выполняющая интерпретация дляможет быть достроена до выполняющей интерпретации дляS.

Продемонстрируем все сказанное на системе S (9.1). Перейдем от S к , устранив литеру(). Для этого включим сразу ввсе дизъюнкты изS, не содержащие (), т.е. (d, e, f). Для оставшихся дизъюнктов (a, b, c) найдем все возможные резольвенты по (). Так;.

Присоединим в только не тавтологические резольвенты, т.е. не содержащие в своей записи фрагменты, следовательно, не присоединяется. Другие дизъюнкты вне присоединяются. Итак,есть следующая система.

S=

(11.2)

Можно доказать, что кH-эквивалентны. Из наших рассмотрений следует, что сложность не выше сложности.

ПОСТУЛАТ 2. Пусть задачи A и B H-эквивалентны и выполнимы и – минимально необходимое и достаточное число инфов, принимаемых во внимание или игнорируемых при сведении задачиA к задаче B. Тогда

.

Следствие.

1. .

2. .

, ,

откуда

. Заметим, что отрицательное значение числа инфов для процедуры сведения означает, что инфы игнорируются. Ясно также, что эквивалентные преобразования одной задачи в другую не изменяет ее инфологическую сложность.

Смысл постулата 2 для наших рассмотрений таков. Пусть дана выполнимая задача . Постулат 2 позволяет ограничить весь спектр возможных способов решения единственным:решается как последовательность переходов кH-эквивалентным задачам:

.

(11.3)

Последовательность (11.3) позволяет получить эффективное решение при условии, что если исходная задача содержит полиномиальное (от n) число инфов. Если же задача содержит экспоненциальное (от n) число инфов, то никакие трансформации к H-эквивалентным задачам не позволяют принять во внимание только полиномиальное число инфов при допущении о реалистичности алгоритма. Именно этот факт и позволяет говорить о том, что при экспоненциальном нарастании числа инфов невозможен полиномиальный алгоритм, принимающий во внимание индивидуальные инфы, при условии, которое нами будет установлено на пропускную способность (алгоритма/ЭВМ).

Обозначим TH – пропускную способность алгоритма, N – число выполняемых им шагов при решении задачи, I – число принятых во внимание при этом инфов.

.

(11.4)

ПОСТУЛАТ 3. Какова бы ни была задача A на входе решающего алгоритма, имеет место ограничение пропускной способности алгоритма:

.

(11.5)

где – фиксированная константа.

Смысл этого постулата состоит в том, что никакой физический вычислитель не может иметь бесконечную скорость обработки информации. Этот постулат связан с физическими ограничениями теории относительности. Данный постулат дает нам следующее: нельзя переработать экспоненциально нарастающее число инфов при ограниченной пропускной способности за полиномиальное число тактов. В самом деле, при допущении обратного следовало бы что

(для любого n),

где – экспонента отn;

–значение некоторого фиксированного полинома;

и с – положительные константы.

Но используя элементарно доказываемое свойство

(для этого достаточно взять k производных от числителя и знаменателя), получим противоречие. Следовательно, при индивидуальном анализе инфов и экспоненциально нарастающем числе инфов алгоритм должен тратить экспоненциально растущее число тактов! В дальнейшем мы вынуждены будем ввести в рассмотрение формы – вычисляемые условия, используемые для замены анализа индивидуальных инфов анализом группы инфов.

ПОСТУЛАТ 4. Инфологическая сложность выполнимой задачи Выполнимостьне ниже числа дизъюнктов в минимальной по числу дизъюнктов конъюнктивной нормальной форме, эквивалентной этой задаче Выполнимость.

В самом деле, все дизъюнкты минимальной КНФ суть инфы по определению. Формулы с меньшим числом инфов для задачи Выполнимость не существует.