Количество информации, содержащейся в системе дизъюнктов

Пусть A и B два дизъюнкта. В силу законов теории вероятностей можно записать

(10.3)

Здесь P(А) – вероятность того, что произвольная интерпретация I выполняет формулу A.

Далее, если (ложь), то

,

(10.4)

Обобщением (8.3) для произвольного числа формул (дизъюнктов) служит

.

(10.5)

Наконец, заметим, что вероятность выполнения формулы

есть

,

(10.6)

А вероятность выполнения формулы

есть

.

(10.7)

Пример. Пусть дана формула . Тогда, в силу (8.6), вероятность ее выполнения суть

.

Теорема . Пусть даны две формулы A и B и пусть (B следует из A). Тогда

.

Доказательство. По условию, .идля любой формулыz. Тогда, учтя, что , получим

.

Но , так как. Поэтому.

Определение. Энтропией формулы A с n переменными называется величина

.

(10.8)

При решении задач, связанных с угадыванием ответа, а задачи распознавания свойств относятся к таковым, естественно считать, что если , то задачаA сложнее задачи B, поскольку в случае задачи A придется сделать большее число проб, чтобы угадать решение. В то же время не всегда имеет место соотношение

,

когда

.

Например, ,.

Таким образом, энтропия, стандартным образом определяется по формуле (10.8), не отражает сложность задачи угадывания (энтропия больше, а перебора меньше). Это говорит о необходимости иного подхода к оценке сложности решения задач типа Выполнимость.

При решении задач решатель работает с условиями задачи. Часть условий задана явным образом, часть скрыта в ее содержании.

Условие «принимается» во внимание, если решатель затрагивает один или более тактов своей работы на проверку истинности (ложности) условия.

Условие, логически не следующее из других условий, называется независимым (от этих последних).

Для данного множества условий ,, …,условиеявляется простейшим, если его по форме можно представить как дизъюнкт, никакой собственный поддизъюнкт которого не содержится среди дизъюнктов формулы логически эквивалентной.

Пример. Рассмотрим формулу . Ей эквивалентна формула. Дизъюнктне является простейшим, так как его поддизъюнктом является, входящий в эквивалентную формулу, состоящую из дизъюнктови.

Минимально необходимое и достаточное число простейших независимых условий , записанных с помощью переменных задачиA, которое должен принять во внимание решатель этой задачи, называется инфологической сложностью задачи A, а элементы –инфами.

Мы рассматриваем только алгоритмы, принимающие инфы во внимание, т.е. не игнорирующие инфы, так как при игнорировании инфа условие не берется в расчет, как если бы его не было, что нелепо, ибо инф есть необходимое и независимое от других условие. Игнорирование инфов наделяет алгоритм качеством оракула, что нами не допускается.

Алгоритм, не игнорирующий инфы, назовем «реалистическим». Не оговаривается, впрочем, как алгоритм получает инф и как он представлен.

Условие, эквивалентное множеству не менее двух инфов, называется формой. Принять форму во внимание – значит заменить индивидуальный анализ инфов задачи распознаванием истинности некоторого предиката (условия срабатывания формы), который определяется способом записи (спецификации) задачи. Очевидным образом предполагается, что между формальным представлением задачи (спецификацией) и ее содержанием (множеством инфов) существует связь.

Рассматриваем только такие задачи, которые формулируются в терминах однородных булевых переменных,, …,и решением (выполняющим набором, интерпретацией) является множество индивидуальных значений для переменных(), удовлетворяющих условиям задачи, представленным в ее спецификации. Это отличает такого рода задачи от «ДА-НЕТ»-задач, хотя и не принципиально. Кроме того, в качестве решения принимается любой подходящий набор из числа выполняющих. В силу теорему С. Кука будем иметь дело только с задачами Выполнимость, если противное не оговорено явно. Таким образом, слово «задача» понимается как «задача Выполнимость».

В последующем изложении будем использовать следующие предположения.

Во-первых, никакой реалистический алгоритм не использует никаких иных способов работы с инфами, кроме как выполняя индивидуальный анализ инфов и/или анализ форм. Во-вторых, для реалистических алгоритмов исключена возможность игнорировать инфы.

Подведем краткий итог. Мы показали, что энтропия не всегда правильно предает сложность задачи. Поэтому было введено понятие инфа и инфологической сложности. Далее мы представим некую теорию, которая объясняет, почему задача Выполнимость не имеет эффективных решающих алгоритмов.