Построение математических моделей объектов исследования
по дисциплине “Теория принятия решений”
Студент Янцен Иван Владимирович группы ИВТ-327
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель проекта (работы)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Информатики и вычислительной техники
Специальность 220100 “Информатика и вычислительная техника’’
Расчетно-графическая работа
Построение математических моделей объектов исследования
по дисциплине “Теория принятия решений”
Студент Янцен Иван Владимирович группы ИВТ-327
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель проекта (работы)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Информатики и вычислительной техники
Специальность 220100 “Информатика и вычислительная техника’’
Расчетно-графическая работа
Построение математических моделей объектов исследования
по дисциплине “Теория принятия решений”
Студент Янцен Иван Владимирович группы ИВТ-327
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель проекта (работы)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Информатики и вычислительной техники
Специальность 220100 “Информатика и вычислительная техника’’
Расчетно-графическая работа
Построение математических моделей объектов исследования
по дисциплине “Теория принятия решений”
Студент Янцен Иван Владимирович группы ИВТ-327
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель проекта (работы)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Информатики и вычислительной техники
Специальность 220100 “Информатика и вычислительная техника’’
Расчетно-графическая работа
Построение математических моделей объектов исследования
по дисциплине “Теория принятия решений”
Студент Янцен Иван Владимирович группы ИВТ-327
(Ф.И.О. полностью)
Руководитель проекта (работы)
Романова А.А. (Ф.И.О.)
___________________________
(Подпись, дата)
Разработал студент
Янцен И.В. (Ф.И.О.)
___________________________
(Подпись, дата)
Омск 2010
Бланк задания
на выполнение расчетно-графической работы
по дисциплине «Теория принятия решений»
Студент группы ИВТ – 327
Фамилия Янцен Имя Иван Отчество Владимирович
Руководитель: преподаватель каф. АСОИУ, А.А.Романова
Срок выполнения с «25» февраля 2010 г. по «25» мая 2010 г.
1. Тема расчетно-графической работы:
Построение математических моделей объектов исследования
2. Содержание расчетно-графической работы
2.1. Пояснительная записка:
титульный лист;
бланк задания преподавателя;
оглавление;
введение;
постановка задачи;
математическая модель (ограничения пояснить);
выбор метода решения;
описание метода решения;
пример, его решение и интерпретация;
заключение;
список литературы.
3. Форма отчетности
математическая модель, выполненная заранее и прошедшая процедуру утверждения руководителем проекта;
пояснительная записка.
4. Литература
Зыкина А. В., Теория принятия решений: метод. указания к самостоятельной работе. Омск, 2007г. – 31 с.
Зыкина А. В., Методы оптимизации: конспект лекций. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007 г. – 36 с.
3. Зыкина А.В., Теория принятия решений: задачи нелинейной оптимизации. – Омск:
Изд-во ОмГТУ, 2008 г. – 59с.
Преподаватель А.А.Романова
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение
4
Постановка задачи
5
Математическая модель
6
Выбор метода решения
7
Описание метода решения
8
Пример решения задачи
11
Заключение
14
Список литературы
15
ВВЕДЕНИЕ
С давних времен разумный человек обречен на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора.
Практическая потребность общества в научных основах принятия решений возникла с развитием науки и техники только в XVIII веке. Началом науки "Теория принятия решений" следует считать работу Жозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. В настоящее время оптимизационный подход к постановке и решению задач является важным резервом повышения качества планирования и управления в задачах принятия решений. На практике все чаще приходиться сталкиваться с самыми разнообразными задачами оптимизации, ведь развитие производства, рынка и конкуренции все больше ужесточает требования, предъявляемые к приемлемому проекту. В принятии решений существует необходимость в ответах на такие вопросы, как: каково наиболее эффективное использование имеющихся ресурсов? Можно ли получить экономный в том или ином смысле проект? В каких пределах риск можно считать допустимым? Важность и актуальность этих проблем принятия решений требует разработки и исследования моделей и методов оптимизации[4].
В данной работе объектом исследования служит корпорация, состоящая из двух типов предприятий – производителей и потребителей. В ходе работы будет дан ответ на вопрос: какой план работы корпорации минимизирует затраты на производство и транспортировку продукции.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В корпорацию входит несколько предприятий, одна часть из которых производит однородный продукт, а другая потребляет. При этом себестоимость производства единицы продукции на предприятиях различна, так как используются разные технологии. Известны максимально возможные объемы производства продукции для каждого предприятия-производителя. Известны также объемы потребления данной продукции для каждого предприятия-потребителя. Заданы транспортные расходы на перевозку единицы продукции от каждого пункта производства к каждому пункту потребления.
Необходимо составить план работы фирмы, минимизирующий затраты на производство и перевозку продукции, удовлетворяющий потребность в данной продукции.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Константы:
m – количество предприятий-производителей
n – количество предприятий-потребителей
a1…am – максимальный объем продукции, который может произвести i-ое предприятие-производитель
b1…bn – максимальный объем продукции, который может потребить j-ое предприятие-потребитель
q1…qm – цена продукции i-го предприятия-производителя
сij = -
Переменные:
– номер предприятия-производителя ( )
– номер предприятия-потребителя ( )
xij – количество груза, которое будет отвезено от i-го предприятия к j-му
Ограничения:
, - нельзя увезти больше, чем производит i-ое предприятие-производитель
, - потребность должна быть выполнена (с возможным превышением)
- количество груза неотрицательно
Целевая функция:
- минимизация всех затрат
ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ
После составления математической модели необходимо рассмотреть возможные пути ее упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод для решения задачи.
В данном случае представленная модель имеет вид математической модели классической транспортной задачи линейного программирования.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ
Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом. Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:
- объем производства (запас) i-го поставщика,;
- объем потребления (спрос) j-го потребителя,
- стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукции от i-го поставщика к j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен, и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна.
Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае – открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой модели.
Математическая закрытая модель транспортной задачи имеет вид
В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, то есть , вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого .
В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, то есть , вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого .
Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.
Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к закрытой модели.
Построение опорного плана транспортной задачи
Методы решения транспортной задачи сводятся к простым операциям с транспортной таблицей, которая имеет вид:
1
…
n
1
…
…
…
…
…
…
m
…
…
=
Базисными клетками транспортной таблицы являются клетки с отличными от нуля положительными перевозками, остальные клетки – свободные. Базисные клетки образуют опорный план транспортной задачи, еcли выполняются два условия:
сумма перевозок в каждой строке равна запасу в данной строке;
сумма перевозок в каждом столбце равна соответствующему спросу .
Опорный план транспортной задачи содержит не более отличных от нуля перевозок .
Опорный план называется вырожденным, если число ненулевых перевозок меньше , опорный план – невырожденный, если число ненулевых перевозок равно
Рассмотрим способ построения опорного плана методом северо-западного угла.
Рассмотрим «северо-западный угол» незаполненной таблицы, то есть клетку, соответствующую первому поставщику и первому потребителю.
Возможны три случая:
Если , то . Это означает, что первый поставщик отгрузил весь продукт первому потребителю и его запас равен нулю, поэтому . При этом неудовлетворенный спрос в первом пункте потребления равен .
Если , то , то есть спрос первого потребителя полностью удовлетворен и поэтому , а остаток продукта в первом пункте производства равен .
В случае из рассмотрения можно исключить и поставщика и потребителя. Однако при этом план получается вырожденным, поэтому считается, что выбывает только поставщик, а спрос потребителя остается неудовлетворенным и равным нулю.
После этого рассматриваем северо-западный угол оставшейся незаполненной части таблицы и повторяем те же действия. В результате через шагов получим опорный план.
Метод потенциалов
Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные – в базисных. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить больше единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, то есть оптимальный план найден.
Для нахождения циклов с отрицательной ценой вводится система платежей и определяются величины , называемые «псевдостоимостями» перевозок единицы груза из пункта i в пункт j. При этом цена цикла пересчета для каждой свободной клетки равна , если платежи , определять из условия
для всех базисных клеток (i,j).
Вычислительная схема метода потенциалов
Шаг 1. Строим опорный план методом северо-западного угла с базисными клетками.
Шаг 2. Определяем платежи из условий: для всех базисных клеток (ij). Один из платежей (в строке или в столбце которого максимальное число базисных клеток) полагаем равным нулю.
Шаг 3. Считаем псевдостоимости для всех свободных клеток. Если для всех клеток, то план оптимален. Вычисляем значение целевой функции на этом плане и исследование прекращаем.
Шаг 4. Если есть свободная клетка, для которой , то улучшаем план, перебрасывая перевозки по циклу этой свободной клетки.
Шаг 5. Возвращаемся к шагу 2 для пересчета платежей нового опорного плана.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В состав корпорации входят 4 предприятия-производителя и 5 предприятий-потребителей. Себестоимость единицы продукции и запасы на предприятиях представлены в таблице 1.
Таблица 1
Производитель
1
2
3
4
Цена
6
8
5
2
Запас продукции
24
20
11
11
Потребности в единицах продукции потребителей представлены в таблице 2.
Таблица 2
Потребитель
1
2
3
4
5
Потребность в продукции
21
12
10
14
9
Матрица транспортных расходов на перевозку единицы продукции от i-го предприятия-производителя к j-му предприятию-потребителю имеет вид:
Общая матрица расходов на производство и транспортировку продукции от i-го предприятия-производителя к j-му предприятию-потребителю имеет вид:
Транспортная таблица имеет вид:
17
10
21
11
8
24
24
13
10
10
19
20
9
12
27
16
20
11
9
4
4
10
11
11
21
12
10
14
9
66
Балансовое равенство выполняется, следовательно модель транспортной задачи закрытая – можно производить вычисления.
Построим опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла:
21
3
24
9
10
1
20
11
11
2
9
11
21
12
10
14
9
Дальнейшее решение выполняется с помощью метода потенциалов: псевдостоимости записываются в левом углу клетки, стоимости – в правом. Вместо столбца и строки с запасами и потребностями записываем строку и столбец для платежей. Из условий в базисных клетках получаем систему уравнений:
Полагая , находим платежи и псевдостоимости для свободных клеток. Так как некоторые клетки имеют отрицательную цену , то план не является оптимальным. Для клетки, имеющей наибольшую разность между псевдостоимостью и стоимостью, строим цикл. Для нового плана вычисляем новые значения платежей и псевдостоимостей. Ниже представлен процесс вычисления оптимального решения:
21
3
-3
9
10
1
0
?
11
6
2
9
0
20
13
10
10
11
min{21,9,11}
10
12
2
0
10
10
3
11
-8
?
4
7
3
17
10
7
7
8
min{10,7}
12
3
9
0
10
10
-1
11
-1
10
?
1
-1
10
10
11
11
8
min{10,1}
12
12
?
24
10
10
10
9
2
16
2
9
10
-7
-14
0
0
1
min{12,2,9}
3
12
?
9
0
10
10
-8
11
-8
7
4
-8
17
10
18
18
8
min{3,4}
12
3
9
0
9
11
-1
11
-7
10
1
-7
16
10
11
11
8
В последней таблице все псевдостоимости не превосходят соответствующих стоимостей, следовательно полученный опорный план:
является оптимальным
стоимость производства и перевозки продукции при этом равняется
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения данной РГР были произведены следующие действия:
- Построена математическая модель
- Выбран и описан предпочтительный метод решения поставленной задачи
- Приведен пример решения задачи
По ходу работы были приобретены новые знания по предмету «Теория принятия решений» и закреплены ранее изученные материалы по предмету «Методы оптимизации».
C помощью них можно экономить ресурсы, деньги и время на предприятиях. Без подобных расчётов не представляется сегодня возможным ведение серьёзной хозяйственной деятельности человека в любой сфере. Не смотря на трудоёмкость при вычислениях, почти все математические методы являются конечными алгоритмами, что позволяет решать их на ЭВМ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зыкина А. В., Теория принятия решений: метод. указания к самостоятельной работе. Омск, 2007г. – 31 с.
2. Зыкина А. В., Методы оптимизации: конспект лекций. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2007 г. – 36 с.
3. Математические методы исследования операций [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.mmio.ru/tran_zadach.html
4. Зыкина А.В., Теория принятия решений: задачи нелинейной оптимизации. – Омск:
Изд-во ОмГТУ, 2008 г. – 59с.