7.3.3. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме.

П редположим, что частица движется вдоль оси Движение частицы ограничено областью 0 ≤ ≤ , в которой потенциальная энергия частицы (потенциальная энергия отсчитывается от дна ямы). За пределами ямы при < 0 и > потенциальная энергия В пределах ямы частица движется свободно. Сталкиваясь со стенками ямы, она отражается от них и изменяет направление своего движения. За пределы потенциальной ямы частица выйти не может. Волновую функцию, зависящую только от одной координаты обозначим Тогда уравнение Шредингера (7.44.10) примет вид:

(7.44.15)

За пределы ямы частица выйти не может, поэтому вероятность обнаружить ее, а следовательно и волновая функция , за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что и на границах ямы должна быть равна нулю, т.е.:

(7.44.16)

Этим граничным условиям должны удовлетворять решения уравнения (7.44.15). Обозначим Тогда уравнение (7.44.15) примет вид:

(7.44.17)

Решение уравнения (7.44.17) имеет вид:

(7.44.18)

Значения и найдем, используя граничные условия (7.44.16). Из условия получим:

откуда следует, что Выполнение условия

возможно в том случае, если

. (7.44.19)

Откуда

(7.44.20)

Из (7.44.19) следует, что решения уравнения будут иметь физический смысл лишь при значениях энергии, удовлетворяющих соотношению:

( 1, 2, 3, …).

Отсюда найдем собственные значения энергии:

( 1, 2, 3, … ) (7.44.21)

Условие квантования энергии получено непосредственно из решения уравнения Шредингера без дополнительных предположений. Подставив (7.44.20) в (7.44.18), получим собственные функции для данной задачи:

(7.44.22)

Коэффициент найдем из условия нормирования волновой функции:

(7.44.23)

Откуда

(7.44.24)

С учетом (7.44.24) собственные функции принимают вид:

( 1, 2, 3, …). (7.44.25)

Графики функций изображены на рисунке для различных значений

Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1.Что определяет квадрат модуля волновой функции?

2. Общее уравнение Шредингера.

3.Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

ЛЕКЦИЯ 45

7.4. Квантово-механическая теория атома водорода

Квантовые числа. Спин электрона. Принцип запрета Паули. Бозоны и фермионы. Электронные конфигурации. Распределение электронов в многоэлектронном атоме. Электронные оболочки и слои. Правила отбора для квантовых переходов. Периодическая система элементов Менделеева. Природа химической связи. Виды химической связи.

7.4.1. Квантово-механическая теория атома водорода

7.4.1.1. Энергия электрона в атоме водорода

Электрон в атоме водорода движется в кулоновском поле ядра. Его потенциальная энергия равна

(7.45.1)

где r – расстояние между электроном и ядром. Графически функция изображается на рисунке жирной кривой. с уменьшением (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Уравнение Шредингера имеет в этом случае вид:

(7.45.2)

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (7.45.2) имеют решения, удовлетворяющие однозначности, конечности и непрерывности волновой функции , только при отрицательных дискретных собственных значениях энергии

( 1, 2, 3, …). (7.45.3)

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими стенками, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения , , ,… показаны на рисунке в виде горизонтальных полос. Самый низкий уровень , отвечающий минимальной возможной энергии

– основной, все остальные ( = 2, 3, 4,…) – возбужденные. При < 0 движение электрона является связанным – он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа энергетические уровни располагаются теснее и при . При > 0 движение электрона становится свободным; область > 0 соответствует ионизированному атому.

Итак, если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.