4. Формулы Рэлея – Джинса и Планка

Д.Рэлей и Д.Джинс применили к тепловому излучению методы статистической физики и закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Формула Рэлея – Джинса для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела имеет вид:

(6.40.15)

где – постоянная Больцмана. В зависимости от частоты выражение для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела принимает вид:

(6.40.16)

. (6.40.17)

Формула Рэлея – Джинса хорошо согласуется с экспериментальными данными только в области длинных волн (малых частот) и больших температур. В области коротких волн она расходится с экспериментом.

Интегрир ование выражения (6.40.12) с учетом (6.40.15) дает для энергетической светимости бесконечно большое значение, что противоречит закону Стефана – Больцмана. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». На рисунке приведено сравнение экспериментальной зависимости с кривой, пстроенной по формуле Рэлея – Джинса.

В 1900 г. М.Планк нашел вид функции или . Он сделал предположение противоречащее классическим представлениям: предположил, что электромагнитное излучение испускается не непрерывно, а в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

(6.40.18)

где 6.62∙10^-34 Дж∙с и 1,054∙10^-34 Дж∙с – постоянные Планка. (Постоянную Планка иногда называют квантом действия). Тогда энергия , излучаемая на частоте , должна быть кратна величине (6.40.18):

. (6.40.19)

Согласно распределению Больцмана вероятность , того, что энергия излучения имеет величину , равна:

(6.40.20)

Используя вероятностный подход, М.Планк для спектральной плотности излучательности абсолютно черного тела получил следующие формулы:

(6.40.21)

(6.40.22)

(6.40.23)

Формулы Планка точно согласуются с экспериментом во всем итервале частот от 0 до (соответственно, во всем итервале длин волн). В случае малых частот (больших длин волн), когда << 1, формула Планка переходит в формулу Рэлея – Джинса. Если в формулу (6.40.12) для энергетической светимости абсолютно черного тела подставить выражение (6.40.21), то получим закон Стефана – Больцмана:

(6.40.24)

Из соотношения (6.40.24) получается значение постоянной Стефана - Больцмана, хорошо согласующееся с экспериментальным значением. Дифференцируя выражение (6.40.21) по можно получить значение постоянной в законе смещения Вина (6.40.13), совпадающее с экспериментальным значением:

м∙К. (6.40.25)

Контрольные вопросы для самоподготовки студентов:

1. Что называется излучательностью тела, спектральной плотностью излучательности, спектральной поглощательной способностью?

2. Сформулируйте закон Кирхгофа.

3. Какое тело называют абсолютно черным?

4

2

. Законы Стефана – Больцмана и смещения Вина.

5. Формулы Релея-Джинса и Планка.

Литературные источники:

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – М.: ACADEMIA, 2008.

2. Савельев, И.В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов: в 3-х томах / И.В.Савельев. – СПб.: Спец. лит., 2005.