1 Анализ электрического состояния линейных и нелинейных электрических цепей постоянного тока
1.1 Расчёт линейных электрических цепей постоянного тока с несколькими эдс
Задание
Для электрической цепи (рисунок 1.1) выполнить следующее:
1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;
2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;
3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;
4) составить баланс мощностей для заданной схемы;
5) результаты расчета токов представить в виде таблицы и сравнить;
6) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.
Числовые параметры электрической цепи представлены в таблице 1.1. Схема электрической цепи изображена на рисунке 1.1.
Таблица 1.1 – Числовые параметры схемы электрической цепи постоянного тока
№, варианта |
Е1, В |
Е2, В |
R1, Ом |
R2, Ом |
R3, Ом |
R4, Ом |
R5, Ом |
R6, Ом |
r01, Ом |
r02, Ом |
4 |
40 |
20 |
35 |
52 |
24 |
41 |
16 |
61 |
2 |
1 |
Рисунок 1.1 – Схема электрической цепи
Решение
1) Определяем токи, используя метод узловых и контурных уравнений.
Задаемся условным положительным направлением токов в каждой ветви; обозначим и подпишем все узлы схемы (рисунок 1.2).
Для заданных условных положительных направлений токов в цепи составляем систему уравнений на основании законов Кирхгофа.
В схеме
узла (A, B,
C, D),
ветвей,
ветвей с источниками тока.
Тогда по первому закону Кирхгофа
составляем
уравнения, а по второму закону Кирхгофа
составляем
уравнения.
Уравнения по первому закону Кирхгофа составим для узлов A, B, C, а по второму закону Кирхгофа – для независимых контуров I, II, III (обозначены на рисунке 1.2).
Рисунок 1.2 – Схема электрической цепи
При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа условимся вносить в уравнения со знаком «+» токи, входящие в соответствующий узел.
Составим матрицу:
|
|
|
|
|
|
b |
||||
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
||||
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
||||
-37 |
53 |
24 |
0 |
0 |
0 |
-20 |
||||
37 |
0 |
0 |
41 |
16 |
0 |
40 |
||||
0 |
53 |
0 |
0 |
16 |
61 |
20 |
Решаем методом Крамера:
|
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-37 |
53 |
24 |
0 |
0 |
0 |
|
|
37 |
0 |
0 |
41 |
16 |
0 |
|
|
0 |
53 |
0 |
0 |
16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-20 |
53 |
24 |
0 |
0 |
0 |
|
|
40 |
0 |
0 |
41 |
16 |
0 |
|
|
20 |
53 |
0 |
0 |
16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-37 |
-20 |
24 |
0 |
0 |
0 |
|
|
37 |
40 |
0 |
41 |
16 |
0 |
|
|
0 |
20 |
0 |
0 |
16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-37 |
53 |
-20 |
0 |
0 |
0 |
|
|
37 |
0 |
40 |
41 |
16 |
0 |
|
|
0 |
53 |
20 |
0 |
16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-37 |
53 |
24 |
-20 |
0 |
0 |
|
|
37 |
0 |
0 |
40 |
16 |
0 |
|
|
0 |
53 |
0 |
20 |
16 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
= |
-37 |
53 |
24 |
0 |
-20 |
0 |
|
|
37 |
0 |
0 |
41 |
40 |
0 |
|
|
0 |
53 |
0 |
0 |
20 |
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
|
= |
-37 |
53 |
24 |
0 |
0 |
-20 |
|
|
37 |
0 |
0 |
41 |
16 |
40 |
|
|
0 |
53 |
0 |
0 |
16 |
20 |
Найденные токи в ветвях:
Составить баланс мощностей:
Подставляем числовые значения.
19,368 + 0,472 = 8,6746 + 0,0366 + 0,5032 + 4,7228 + 4,1697 + 1,7857
19,84 = 19,89
Баланс мощностей получился.
2) Определим токи во всех ветвях, используя метод контурных токов.
Зададимся направлениями течения контурных токов в каждом независимом контуре схемы и обозначим их Iк1, Iк2, Iк3 (рисунок 1.2). Для каждого контура составим уравнение по второму закону Кирхгофа, направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением контурного тока:
Подставляя числовые значения, приходим к системе:
Решаем методом Крамера:
|
94 |
16 |
-37 |
|
|
|
= |
16 |
130 |
53 |
= |
859128 |
|
|
-37 |
53 |
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
16 |
-37 |
|
|
|
= |
20 |
130 |
53 |
= |
291580 |
|
|
-20 |
53 |
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
40 |
-37 |
|
|
|
= |
16 |
20 |
53 |
= |
147020 |
|
|
-37 |
-20 |
114 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
16 |
40 |
|
|
|
= |
16 |
130 |
20 |
= |
-124440 |
|
|
-37 |
53 |
-20 |
|
|
Найденные контурные токи:
=
0,3394 (А);
=
0,1711 (А);
=
0,1448
(А).
Определяем токи в ветвях через контурные токи:
(А)
(А)
(А)
(А)
(А)
(А)
3) Определяем токи ветвей, используя метод наложения.
По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.
а) Определяем частные токи от
,
при отсутствии
(рисунок 1.3).
Рисунок 1.3 – Схема замещения (
)
Направляем частичные токи, обозначаем их с одним штрихом.
Преобразуем соединение звездой в схеме (в точке D) в соединение треугольником.
Ом
Ом
Ом
Ом
Найдём эквивалентное сопротивление схемы.
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
По закону Ома находим частичные токи.
(А)
(В)
(А)
(В)
(А)
(В)
(А)
Остальные токи находим по первому закону Кирхгофа.
А
А
А
б) Определяем частные токи от , при отсутствии (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 – Схема замещения (
)
Направляем частичные токи, обозначаем их с двумя штрихами.
Преобразуем соединение звездой в схеме (в точке D) в соединение треугольником.
Ом
Ом
Ом
Ом
Найдём эквивалентное сопротивление схемы.
Ом
Ом
Ом
Ом
Ом
По закону Ома находим частичные токи.
(А)
(В)
(А)
(В)
(А)
(В)
(А)
Остальные токи находим по первому закону Кирхгофа.
А
А
А
в)Найдём действительные токи во всех ветвях
А
А
А
А
А
А