7.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 7

Ответьте на вопросы:

1. Какое уравнение называется тригонометрическим?

2. Какое уравнение называется однородным первой степени?

3. Какое уравнение называется однородным второй степени?

Решите упражнения:

1) 2)

₃₎ 4)

5)

6)

7)

₈₎

9)

₁₀₎

₁₁₎

12) 13)

₁₄) 15)

₁₆) 17)

₁₈) 19)

Проверьте своё решение:

Ответы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11)

12)

13)

14)

15)

16) 17)

18)

19)

8. Производные элементарных функций

В данной таблице приведены производные основных элементарных функций и правила дифференцирования, которые нужно очень хорошо выучить, чтобы применять к решению примеров:

Например:

Найдите производную данной функции:

₁₎

₂₎

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Элементы исследования функции с помощью производной

Производные применяют для исследования графиков функций:

устанавливают промежутки монотонности; точки экстремума; наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Функцией называется правило f, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие единственный элемент у множества У.

План исследования функций:

1. Область определения

2. Множество значений

3. Четность, не четность

4. Непрерывность

5. Нули функции

6. Промежутки знакопостоянства

7. Промежутки монотонности

8. Критические точки

9. Точки экстремума

10. Экстремум функции

11. Наибольшее и наименьшее значение функции

Чтобы исследовать функцию полезно найти её производную и приравнять её к нулю. Тем самым найдём стационарные точки. Затем исследуем промежутки в окрестности стационарных точек:

если производная положительна, то функция возрастает;

если производная отрицательна, то функция убывает.

Стационарные точки становятся точками экстремума, если производная меняет знак: с «+» на «» точка max; с «» на «+» точка min

Например:

Используя эту подготовительную работу можно строить график.

Необходимо ещё найти значение функции в стационарных точках, и добавить дополнительные точки для более точного построения.

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 4

8.1 Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 8

Ответьте на вопросы:

1. Как найти производную степенной функции?

2. Как найти стационарные точки?

3. Что такое точки экстремума?

4. Как найти промежутки монотонности функции?

Решите упражнения:

№ 1 Найти производную функции: № 2 Постройте график функции:

₁₎ 1)

₂₎ 2)

3) ₃₎

4) 4)

5) 5)

6) 6)

Проверьте своё решение:

Ответы:

№ 1

_{1) 2)}

₃₎ 4)

5) 6)

№ 2

1)

2)

3)

4)

5)

6)

9. Площадь криволинейной трапеции

Что такое «криволинейная трапеция»?

Фигура, ограниченная функцией прямыми х = а , х = b и осью Ох называется криволинейной трапецией.

Вычисляется площадь по формуле Ньютона-Лейбница:

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b  верхним пределом интегрирования.

Криволинейная трапеция может быть различного вида:

I.Стандартная криволинейная трапеция:

(нижнее основание – ось Ох, верхнее основание функция f(x)).

II. Трапеция, расположенная «вверх ногами»:

(верхнее основание – ось Ох, нижнее основание функция f(x)).

III. Трапеция, состоящая из отдельных частей

(частей может быть больше двух):

(нижнее основание – ось Ох, верхних оснований несколько, т.е. функции h(x) и g(x) являются верхними основаниями каждая над своей частью).

IV. Трапеция, находящаяся между функциями:

(верхнее основание функция g(x), нижнее основание функция h(x)).

И так, криволинейные трапеции делятся на 4 типа:

Но для интегрирования функций полезно вспомнить основные формулы интегрирования:

Чаще всего в заданиях на вычисление площади встречается квадратичная функция и возникает потребность построения обычной параболы:

Например:

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

y=x² – 2x+2 и y=2+6x – x².

Решение.

1) Выполняем чертеж;

2) Найдем пределы интегрирования:

x²–2x+2=2+6x–x²,

откуда х=0 – нижний предел интегрирования

и х=4 – верхний предел интегрирования;

3) Составим подынтегральную функцию:

f(x)=2+6x–x² – (x²–2x+2)=8x–2x²;

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

О твет: 9 кв.ед.