5. Виявлення і виправлення помилок в повідомленнях
5.1. Поняття про ідею корекції помилок
Для того, щоб в прийнятому повідомленні можна було виявити помилку це повідомлення повинне володіти деякою надмірною|надлишковою| інформацією, що дозволяє відрізнити помилковий код від правильного Наприклад, якщо передане|передавати| повідомлення складається з трьох абсолютно однакових частин|часток|, то в прийнятому повідомленні відділення|відокремлення| правильних символів від помилкових може бути здійснене за наслідками|за результатами| накопичення посилок|посилань| одного вигляду|виду|, наприклад 0 або 1. Для двійкових код цей метод можна проілюструвати наступним|слідуючим| прикладом|зразком|:
10110 - передана|передавати| кодова комбінація;
10010 - 1-я прийнята комбінація;
10100 - 2-я прийнята комбінація;
00110 - 3-я прийнята комбінація;
10110 - накопичена комбінація.
Як видимий, не дивлячись на те, що у всіх трьох прийнятих комбінаціях були помилки, накопичена не містить помилок.
Прийняте повідомлення може також складатися з коди і його інверсії. Код і інверсія посилаються в канал зв'язку як одне ціле. Помилка на приймальному|усиновленому| кінці виділяється при зіставленні коди і його інверсії.
Для того, щоб спотворення будь-якого з символів повідомлення привело до забороненої комбінації, необхідно в коді виділити комбінації, що відрізняються один від одного у ряді символів, частина з цих комбінацій заборонити і тим самим ввести в код надмірність. Наприклад, в рівномірному блоковому коді вважати за дозволених кодові комбінації з постійним співвідношенням нулів і одиниць в кожній кодовій комбінації. Такі коди отримали назву код з постійною вагою. Для двійкових код число кодових комбінацій в кодах з постійною вагою завдовжки в п символів рівно
(39)
де - число одиниць в кодовому слові. Якби|аби| не існувало умови постійної ваги, те число комбінацій коди могло б бути набагато більшим, а саме . Прикладом|зразком| коди з|із| постійною вагою може служити стандартний телеграфний код № 3. Комбінації цієї коди побудовані|спорудити| таким чином, що на 7 тактів, протягом яких має бути прийнята одна кодова комбінація, завжди доводяться|припадають| три струмові і чотири безтоковые| посилки|посилання|. Збільшення або зменшення кількості струмових посилок|посилань| говорить про наявність помилки.
Ще одним прикладом|зразком| введення|вступу| надмірності в код є|з'являється| метод суть якого полягає в тому, що до початкових|вихідних| кодів додаються|добавляють| нулі|нуль-індикатори| або одиниці так, щоб сума їх завжди. була парною або непарною. Збій будь-якого одного символу завжди порушить умову парності (непарності), і помилка буде виявлена. В цьому випадку комбінації один від одного повинні відрізнятися мінімум в двох символах, тобто рівно половина комбінацій коди є|з'являється| забороненою (забороненими є|з'являються| всі непарні комбінації при перевірці на парність або навпаки).
У всіх згаданих вище випадках повідомлення володіють надмірною|надлишковою| інформацією. Надмірність повідомлення говорить про те, що воно могло б містити|утримувати| більшу кількість інформації, коли б не багатократне|багаторазове| повторення однієї і тієї ж коди, не додавання|добавляти| до коду його інверсії, що не несе ніякої|жодної| інформації, коли б не штучна заборона частині|частці| комбінацій коди і так далі Але|та| всі перераховані види надмірності доводиться вводити|запроваджувати| для того, щоб можна було відрізнити помилкову комбінацію від правильної.
Коди без надмірності виявляти, а тим більше виправляти помилки не можуть8. Мінімальна кількість символів, в яких будь-які дві комбінації коди відрізняються один від одного, називається кодовою відстанню. Мінімальна кількість символів, в яких всі комбінації коди відрізняються один від одного, називається мінімальною кодовою відстанню. Мінімальна кодова відстань - параметр, що визначає перешкодостійкість коди і закладену в коді надмірність. Мінімальною кодовою відстанню визначаються властивості код, що коректують.
У загальному випадку для виявлення r помилок мінімальна кодова відстань
(40)
Мінімальна кодова відстань, необхідна для одночасного виявлення і виправлення помилок
(41)
де s - число помилок, що виправляються.
Для код, що тільки|лише| виправляють помилки
(42)
Для того, щоб визначити кодову відстань між двома комбінаціями двійкового коду, досить підсумувати ці комбінації по модулю 2 і підрахувати|підсумовувати| число одиниць в отриманій|одержувати| комбінації.
Поняття кодової відстані добре засвоюється на прикладі побудови геометричних моделей код. На геометричних моделях у вершинах n-угольников, де n-значность коди, розташовані кодові комбінації, а кількість ребер n-угольника, що відокремлюють одну комбінацію від іншої, дорівнює кодовій відстані.
Якщо
кодова комбінація двійкової коди А
отстоит
від кодової комбінації В
на
відстані d,
то
це означає, що в коді А
потрібно
d
символів
замінити на зворотних, щоб отримати
код,
але
це не означає, що потрібне d
додаткових
символів, щоб код володів даними
властивостями, що коректували. У двійкових
кодах для виявлення одиночної помилки
досить мати 1 додатковий символ незалежно
від числа інформаційних розрядів коди,
а мінімальна кодова відстань
Для виявлення і виправлення одиночної помилки співвідношення між числом інформаційних розрядів і числом розрядів, що коректують, повинно задовольняти наступним|слідуючим| умовам:
(43)
(44)
при цьому мається на увазі, що загальна|спільна| довжина кодової комбінації
.
(45)
Для практичних розрахунків при визначенні числа контрольних розрядів код з|із| мінімальною кодовою відстанню зручно користуватися виразами:
(46)
якщо відома довжина повної кодової комбінації п, і
(47)
якщо
при розрахунках зручніше виходити із
заданого числа інформаційних символів
9.
Для кодів, що виявляють всі триразові|трикратні| помилки
(48)
або
(49)
Для
кодів завдовжки в п
символів,
що виправляють одну або дві помилки
(50)
Для практичних розрахунків можна користуватися виразом|вираженням|
(51)
Для кодів, що виправляють 3 помилки
(52)
Для кодів, виправляючих s помилок
(53)
Вираз зліва відомий як нижня межа Хеммінга, а вираз справа - як верхня межа Варшамова - Гильберта.
Для наближених розрахунків можна користуватися виразом|вираженням|
(54)
Можна припустити|передбачати|, що значення наближатиметься до верхньої межі|кордону| залежно від того, наскільки вираз|вираження| під знаком логарифма наближається до цілого ступеня|міри| два.
Завдання 6.1: Визначити кількість перевірочних розрядів для побудови систематичної коди, що виправляє одиночну помилку і що містить 5 інформаційних розрядів.
Рішення|розв'язання|:
при n = 6, 192 + 32 > 64;
при n = 7, 224 + 32 > 128;
при n = 8, 288 + 32 >256;
при n = 9, 288 + 32 < 512
тобто n = 9.
Завдання 6.2. Визначити максимальну кількість інформаційних розрядів систематичного коду, що виправляє одиночну помилку, якщо допустима довжина всього коду 10 символів.
Рішення|розв'язання|:
1)
2)
Завдання 6.3. Визначити мінімально можливу довжину кодової комбінації систематичного коду, що виправляє одиночну помилку, якщо кількість інформаційних розрядів nu=11.
Рішення|розв'язання|:
при n = 12;
при n = 13;
при n = 14;
при n = 15;
тобто n = 15.
Завдання 6.4: Визначити кількість розрядів, що коректують, для побудови коди, що виявляє всі триразові помилки, якщо допустима довжина коди n=15.
Рішення|розв'язання|:
