39.4. Волновая функция свободной микрочастицы

Корпускулярные и волновые свойства фотона и микрочастицы аналогичны. Фотону с энергией , летящему вдоль оси x, можно сопоставить волновую функцию плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x:

E(x) = E₀cos(t – kx), где k = 2/,

Е – напряженность электрического поля волны – световой вектор.

В комплексном виде: E(x,t) = E₀e^{–i(t – kx)}.

Замена частоты и длины волны фотона на частоту и длину волны де Бройля:

_Б = E/ ; _Б = 2 /p

приведет к тому, что мы получим волновую функцию свободной микрочастицы с энергией Е и импульсом р, летящей вдоль оси x:

(x,t) = Ae^{–i(Б – 2x/Б)} = Ae^{–i(Et – px)/} ,

где А – некоторая постоянная.

Для частицы, движущейся в произвольном направлении:

.

То, что волновая функция комплексна – на страшно, так как физический смысл имеет действительная плотность вероятности, то есть, квадрат модуля волновой функции

dP/dV = ||² = ^* = |A|² = const.

Эта вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства. Мы приписали частице определенный импульс и неопределенность ее координаты x  /(2p)   при р  0. кроме того, фазовая скорость плоской волны (x,t), которая вычисляется для релятивистской частицы по формуле

V_фаз = ,

превышает скорость света с, то есть, не сопоставима с истинной скоростью V частицы.

Таким образом, делаем вывод:

* Реальная свободная микрочастица – более сложный объект, чем плоская монохроматическая волна де Бройля.

Будем теперь описывать свободную частицу с импульсом р₀ с помощью волнового пакета, то есть совокупности плоских волн де Бройля со всеми возможными импульсами от p₀ – – p/2 до p₀ + p/2 (частица имеет неопределенность импульса p). Волновая функция пакета получается сложением по принципу квантовой суперпозиции

волновых функций (x,t) (см. выше) отдельных волн:

. (*)

Такой пакет имеет конечный размер.

Пусть A(p) = const (пусть также p мало). Тогда можно разложить энергию микрочастицы в ряд Тейлора:

E(p) = E(p₀) + (E/p)|_{p = p0}(p – p₀).

Введем новые обозначения:

 = (E/p)|_{p = p0}t – x,  = p – p₀.

Тогда волновая функиця микрочастицы будет иметь вид:

(x,t) = Ce^{–i/ (E(p0)t – p0x)} .

Плотность вероятности: |(x,t)|² = . Ее зависимость от x в момент времени t изображена на рис.

|(x,t)|²_max в точке, где  = 0. Эта точка, то есть место, где вероятность обнаружения частицы максимальна, перемещается вдоль оси x со скоростью

V_гр = (x/t)|_=0 = (E/p)|_p0 – групповая скорость волнового пакета, которая определяется для волн де Бройля как V_гр = .

Для свободной микрочастицы E = p²/2m, V_гр = p₀/m = V₀ – скорость классической частицы с импульсом р₀.

Размер микрочастицы, то есть ее координаты x можно сопоставить с шириной центрального пика (см. рис. выше). Его границы соответствуют при t = 0 условию .

Микрочастицу можно представить как пакет волн де Бройля с волновой функцией (*), который занимает в пространстве конечный объем с размером x и движется со скоростью классической частицы p₀/m = V₀ – «облако» плотности вероятности обнаружения частицы ||², перемещающееся вдоль оси x.

! Но: волны де Бройля с разностью импульсов р имеют разность скоростей V  p/m. Поэтому волновой пакет должен расплываться со временем.

Это аналогично явлению дисперсии электромагнитных волн. Пусть начальный размер электрона x₀ 10^–16м. Тогда V  p/m = (4 )/(mx₀)и спустя одну секунду он расплывется до размера x = x₀ + Vt  (4 )/(mx₀) t  10¹⁰ км!

Это произошло от того, что мы предположили, что A(p) = const, а такой пакет будет быстро расплываться. Чему равно A(p)?

Получим общее уравнение, определяющее зависимость (x,t) от координат и времени.