2.1. Высказывания и действия над ними.

        Опр.1.1. Утверждение, относительно которого известно, истинно оно или ложно, будем называть высказыванием.

        Примеры: (A) число 6 больше числа 2; (B) число 6 меньше или равно числу 2; (C) Волга впадает в Каспийское море; (D) Путин - наш президент; (Е) чтобы хорошо жить, надо хорошо учиться.          Утверждения A, C - истинные высказывания; В - ложное; D - утверждение, истинное в настоящий момент, однако об его истинности через два года мы ничего сказать не можем; такие утверждения мы высказываниями считать не будем; (Е) - не высказывание, так как проверить его истинность невозможно. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном математические утверждения, для которых неоднозначности в понимании смысла утверждений возникать не будет.          Итак, высказывание - утверждение, которое или истинно, или ложно (третья возможность исключена); никакое высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.          Для описания истинности высказываний необходимы два символа - один для истинных высказываний, другой - для ложных. Можно применять буквы "и" и "л"; однако чаще применяются цифры 0 и 1. Именно, ложному высказыванию припишем значение 0, истинному - значение 1. Таким образом, для вышеприведённого примера истинность высказываний A и D равна 1; истинность высказывания B равна 0. А") называется высказывание, которое ложно тогда, когда А - истинно, и истинно, когда А ложно.         Для приведённых примеров В =   А.

        Опр. 1.3.Конъюнкцией высказываний А и В (обозначение А∧В, читается: А и В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинны оба высказывания А и В, и ложное в остальных случаях.

        Опр. 1.4. Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначение А∨В, читается: А или В) называется высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний Аи В, и ложное, если и А и В ложны.

        Опр. 1.5. Импликацией высказываний А и В (обозначение А⇒В, читается: из А следует В; если А, то В) называется высказывание, ложное в случае, если А истинно, а Вложно, и истинное в остальных случаях.

        Опр. 1.6. Эквивалентностью высказываний А и В (обозначение А⇔В, читается: тогда и только тогда, необходимо и достаточно) называется высказывание, истинное тогда, когда оба высказывания А и В либо истинны, либо ложны, и ложное если одно из высказываний А, В истинно, а другое ложно.

Таблица истинности операций							Рассмотрим простой пример интерпретации введённых операций. Пусть даны высказывания:А = "5>3" (истинное); В = "10>7" (истинное); С = "6<1" (ложное); D = "8<0" (ложное). Результаты применения логических операций к этим высказываниям будут таковы: А (неверно, что "5>3") - ложно; С (неверно, что "6<1") - истинно; А∧В ("5>3" и "10>7" (одновременно)) - истинно; А∨С ("5>3" и "6<1" (одновременно)) - ложно; А∨В ("5>3" или "10>7" (истинно хотя бы одно из этих утверждений)) - истинно.
A	B	А	А∧В	А∨В	А⇒В	А⇔В
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

А∨С ("5>3" или "6<1" (истинно хотя бы одно из этих утверждений)) - истинно; А⇒В (из А следует В; если А, то В; если"5>3", то "10>7") - истинно; A⇒C(из А следует С; если А, то С; если"5>3", то "6<1") - ложно; С⇒А (из С следует А; если С, то А; если"6<1", то "5>3") - истинно; А⇔В (А эквивалентно В; А справедливо тогда и только тогда, когда справедливо В; для А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось В; "5>3"⇔"10>7") - истинно; А⇔C ("5>3" ⇔"6<1") - ложно; D⇔С ("8<0" ⇔"6<1") - истинно.