Задача 1

По данным о 27 странах (каждая страна либо развитая, либо развивающаяся) построена регрессия

x_i = 25 + 15 b_i – 15 c_i,

где x_i — темп инфляции за год, b_i = 1, если страна развивающаяся, b_i = 0 иначе, c_i = 1, если страна развитая, c_i = 0 иначе. Сумма квадратов остатков в полученной регрессии оказалась равной 13500, а объясненная дисперсия — 300.

а) Как можно заметить, сумма коэффициентов при фиктивных переменных равна нулю. Чем это может объясняться?

б) Пусть вместо этого строится регрессия x_i от c_i и константы (без включения b_i). Запишите уравнение регрессии (с указанием коэффициентов).

в) Запишите для последней регрессии матрицу факторов, если первые 14 стран — развитые, а остальные — развивающиеся.

г) Вычислите статистику, с помощью которой можно проверить, есть ли зависимость инфляции от типа страны. Какое распределение она имеет (со ст. свободы)?

д) Постройте точечный прогноз инфляции для развитой страны.

е) Постройте интервальный прогноз инфляции для такой же страны.

Задача 2

Модель одновременных регрессионных уравнений имеет вид (A, B — эндогенные, C, D, F — экзогенные переменные):

A = 0,5 B + 3 C – 4 D + ₁,

B = –0,5 A + 2 D – 1 F + ₂.

а) получите для этой модели приведенную форму;

б) укажите какие из уравнений системы являются неидентифицируемыми, идентифицируемые и сверхидентифицируемые;

c) исходя из приведенного анализа, какие методы вы бы предложили для оценивания каждого из уравнений системы. Что будет, если попытаться оценить оба уравнения с помощью обычного метода наименьших квадратов.

Задача 3

По данным о 68 российских химических предприятиях за 1996 г. было получено следующее уравнение регрессии

Значима ли оцененная зависимость? Приведите достаточно подробные расчеты и пояснения.

Значения 95-процентные квантилей F- распределений

Степень свободы	Числителя
Знаменателя	1	2	3
65	3.988	3.138	2.745
64	3.991	3.140	2.748
63	3.993	3.143	2.751
62	3.996	3.145	2.753
61	3.998	3.147	2.755

Задача 4

Пометьте верные утверждения знаком «+», а неверные — знаком «–»:

[   ]Теорема Гаусса-Маркова: Дисперсии оценок параметров регрессии являются минимальна в классе линейных несмещенных оценок.

[   ] Объясняющие переменные в регрессионном анализе по-другому называют зависимой переменными.

[   ] Если выполняется нулевая гипотеза α_j = 0, j=1, … ,n , то модель регрессии не верно специфицирована.

[   ] Несмещенной оценкой остаточной дисперсии является .

[   ] Коэффициент детерминации показывает долю объясненной дисперсии в польной.

[   ] Поиск МНК-оценок параметров регрессии осуществляется путем минимизации остаточной дисперсии.

[   ] Коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту детерминации.

[   ]Ситуация, в которой зависимости между факторами приближаются к линейным, называется автокорреляция ошибок

[   ] Введение дополнительного фактора в уравнения регрессии может привести к уменьшению коэффициента детерминации.

[   ] Сумма квадратов k взаимно независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение имеет распределение хи-квадрат с k степенями свободы.