(Т10) Дополнять вербальные определения остенсивными для большей ясности вербальных определений.

Это особенно важно в процессе преподавания, в учебных пособиях, в популярной литературе. Практически подобное дополнение осуществляется путем приведения примеров объектов, входящих в объем определяемого понятия, или, как говорят, удовлетворяющих данному понятию. Читатель уже заметил, что почти все вербальные определения, даваемые в данной работе, дополнялись остенсивными определениями. Этот прием будет применяться и в дальнейшем.

(П2) Из применимых для решения поставленной задачи вербальных определений выбирать более эффективное и в то же время познавательно более простое.

Здесь возникает вопрос, что такое эффективность и простота определений и что детерминирует выбор определения той или иной степени эффективности и простоты. Эффективное определение – это явное вербальное определение, определяющий признак которого указывает на эффективный метод распознавания определяемого объекта. Но что такое эффективный метод? Это понятие сейчас необходимо разъяснить. Оно определяется остенсивно (через примеры), так как вербальное определение не известно. Примером эффективных определений являются, во-первых, алгоритмические определения, определяющие признаки которых указывают на алгоритмы¹² (массовые, результативные и детерминированные предписания) распознавания определяемых объектов.

Алгоритмическим определением, например, является нижеследующее определение натурального числа. Для определения, прежде всего, задается алфавит для записи натуральных чисел. Это символы 0 и 1. Затем принимается соглашение о том, что символ n будет обозначать любое натуральное число. После этого принимается следующий алгоритм, т.е. правило, по которому строятся и распознаются натуральные числа: (1) 0 есть натуральное число; (2) если n - натуральное число, то и тоже натуральное число. Согласно такому определению совершенно четко и однозначно можно установить, что 0, 01, 011, … будут натуральными числами, которые можно переименовать символами 0, 1, 2, … . Но выражения 1, 10, 001 такими числами не будут. Тут, очевидно, вопрос решается абсолютно точно.

Однако другие эффективные методы такой предельной точности не обеспечивают. К ним относятся так называемые предписания алгоритмического типа¹³, применяемые, например, при уточнении правил грамматики¹⁴. Для них характерна неполная детерминированность. Поэтому-то их и нельзя назвать алгоритмами в полном смысле этого слова. Предписания алгоритмического типа могут успешно применяться в грамматике, но для других наук они слишком "строги".

Во многих науках определения не являются ни алгоритмами, ни алгоритмическими предписаниями, но все же позволяют достаточно четко и однозначно распознавать определяемые объекты. Нетрудно также показать, что практически во всех науках (даже в "самой точной" – математике) существуют определения, не позволяющие делать этого. Иначе говоря, во всех науках существуют как эффективные, так и неэффективные определения.

Например, в математике определение арифметической операции сложения может быть и эффективным и неэффективным. Эффективное определение задается известной таблицей сложения чисел от 0 до 9 и правилом сложения чисел больших 9. Неэффективное определение сложения состоит в понимании этой операции как теоретико-множественной операции объединения непересекающихся множеств. Оба эти определения необходимы для решения определенных задач.

Из школьной геометрии хорошо известны неэффективные определения линии. Например, линия понимается как то, что подобно лучу света, как длина без ширины (Евклид), как траектория движущейся точки (Жордан). Из высшей математики известны эффективные определения линии, например, как того, что задается координатами точки, т.е. определяется уравнениями , (Жордан). В теории множеств линия определяется как связное компактное множество точек плоскости, не имеющее ни одной внутренней точки (Кантор). Первые определения линии неэффективны, а вторые – эффективны. Эффективные и неэффективные определения имеются и в гуманитарных науках.

Возьмем примеры из области философии. В начале рассмотрим эффективное и неэффективное определения категории сущности. Определение сущности системы как ее свойств и отношений, обусловливающих другие свойства и отношения этой системы, является эффективным, так как дает следующий метод распознавания сущности:

1. Уточнить систему (выявить ее свойства и отношения, какие только возможно);

2. уточнить отношение обусловливания, существенное для решения поставленной задачи;

3. выявить те свойства и отношения, которые с помощью данного отношения обусловливания определяют существование в этой системе других ее свойств и отношений. Эти свойства и отношения и будут представлять сущность данной системы, во всяком случае, сущность первого порядка. Если будут найдены другие свойства и отношения, обусловливающие выявленные, то это будет уже сущность второго порядка и т.д.

Приведенный метод выявления сущности, конечно, не является алгоритмом. Но он позволяет с достаточной определенностью осуществлять действия, ведущие к распознаванию существенных свойств или отношений системы. А теперь посмотрим на такое определение сущности: "сущность – это внутреннее содержание предмета…"¹⁵. Это определение никак не указывает на способ распознавания именно внутреннего содержания. Даже не ясно, что это такое. Находящееся внутри предмета? Во многих случаях такое понимание ведет просто к бессмыслице. Так, много пишут о сущности жизни, т.е. живого организма. Возникает вопрос, что означает сущность организма? Внутри организма? Какой в этом смысл? Понятие это неэффективно.

Еще один пример. Возьмем определение необходимости как свойств и отношений системы, обусловливаемых ее существенными свойствами и отношениями, т.е. ее сущностью. Это определение эффективно в силу того, что дает следующий метод распознавания необходимого в системе:

1. уточнить систему;

2. выявить ее сущность относительно некоторого отношения обусловливания;

3. выявить свойства и отношения, обусловленные этой сущностью. Они и будут необходимыми в данной системе относительно данного отношения обусловливания.

Таким образом, рассмотренное определение категории необходимости эффективно. Поэтому это понятие можно называть эффективным. И вообще, назовем термин эффективным, если его вербальное определение эффективно. В противном случае термин будет неэффективным.

Однако определение необходимости как типа связи явлений, определяемого их устойчивой внутренней основой¹⁶, не является эффективным, так как нет метода отличения внутренней основы от внешней. И вообще неясно, что такое "внутренняя основа", что такое ее устойчивость, какими методами их распознать.

Говоря о применимости эффективных и неэффективных понятий, нельзя забывать о принципе относительности в познании. Дело в том, что применимость тех или других понятий относительна. Все зависит от поставленной задачи. Для одних задач целесообразно применять эффективные понятия, а для других – неэффективные. Нельзя эффективные понятия представлять как абсолютно "хорошие" (везде и всегда применимые), а неэффективные – как абсолютно "плохие". Поясним эту мысль на примерах.

Так, для задач школьной арифметики применимо вышеупомянутое эффективное понятие сложения, но не применимо неэффективное. Зато оно чрезвычайно важно для решения проблемы обоснования арифметики. Для школьной элементарной геометрии применимы неэффективные понятия линии. Но для решения топологических проблем, например задачи, так называемого ковра Серпинского¹⁷ необходимо эффективное понятие линии по Кантору, а неэффективные понятия просто бесполезны. Для решения многих задач аналитической геометрии необходимо эффективное определение линии по Жордану и т.д. и т.п.

Для обыденных целей во многих случаях применимы интуитивные (неэффективные) термины сущности, необходимости, формы, отражения и т.п. Но для методологических, гносеологических и специальных задач наук, особенно точных наук, эти категории бесполезны. Поэтому, когда философия не уточняет своих категорий, науки сами эти понятия эффективизируют. Например, логика и математика не смогли бы решить ни одной задачи, касающейся формы, если бы действительно пользовались понятием формы как внутренней организации содержания¹⁸, или как способа существования содержания¹⁹. В действительности эти науки используют иное, эффективное определение формы²⁰ как количественных отношений, т.е. отношений, общих с отношениями всех изоморфных данной системе систем, независимых от содержания, присущего только качественным отношениям.

Преимущества эффективных определений в том, что они, обеспечивая лучшую распознаваемость определяемых объектов, обеспечивают и более точную оценку истинности формулируемых с их помощью утверждений (принципов, законов, тезисов). Однако эффективность нередко связана с потерей интуитивной ясности и представимости определяемого объекта, что создает трудности в его понимании. Эти трудности имеют много причин, в том числе и непривычность языковых выражений. Казалось бы, что более точное, более эффективно определенное и должно в то же время быть более понятным, чем что-то неопределенное, недоступное или плохо доступное для распознавания. Но дело обстоит далеко не так. Нередко кажимость понятности нами автоматически принимается за понятность. Это психологический факт, и с ним приходится считаться, особенно в дидактических целях. Поэтому при введении понятий путем явных определений необходимо учитывать уже упомянутое требование познавательной простоты, если она не препятствует решению поставленной задачи.

Например, было бы гораздо проще разъяснить понятие актуальной бесконечности путем представления бесконечного процесса оконченным. Но такое разъяснение уже в силу своей противоречивости приведет к неверному решению задач, использующих это понятие. Значит, придется пользоваться хотя и с познавательной точки зрения более сложным, но зато практически действительно применимым определением актуальной бесконечности как множества, содержащего правильное подмножество, эквивалентное всему множеству, если оно не понятно, его можно разъяснить. Например, можно дать нижеизложенное разъяснение и не путать его с потенциальной бесконечностью, т. с бесконечным процессом.

Пусть реципиент представит множество натуральных чисел 0, 1, 2, … . В нем есть подмножество четных чисел 2, 4, 6, … . Относительно множества натуральных чисел оно правильное, несовпадающее со всем множеством, так как в натуральные числа кроме четных входят еще и нечетные числа. Но множества натуральных и четных чисел эквивалентны, так как каждому натуральному числу можно однозначно сопоставить четное число по закону . И наоборот, каждому четному числу можно однозначно сопоставить натуральное число по закону . Значит множество натуральных чисел бесконечно.

Пояснение это довольно доходчивое. А более простое правильное определение бесконечного множества науке не известно. И с этим тоже надо считаться. Простота не должна достигаться за счет ненаучности. Преимущества эффективных понятий перед неэффективными состоят в том, что они дают возможность, во-первых, гораздо более точно оценивать истинность суждений, в которое они входят, и, во-вторых, обеспечивают лучшее решение задач. Поэтому в науке весьма важной является проблема эффективизации понятий. Эта эффективизация может проводиться в разных науках разными методами, например, следующими:

а) Метод алгоритмизации (конструктивизации) вербальных определений.

Классическим примером здесь является алгоритмизация самого понятия об алгоритме. Первоначальное понятие об алгоритме не было эффективным. Это было интуитивное представление о результативном и детерминистическом предписании для производства операций, в частности вычислительных. Эффективизация этого понятия привела к определению алгоритма как рекурсивной функции, машины Тьюринга и т.п. равносильных определений. Методы алгоритмизации наиболее применимы в математике, логике, кибернетике и т.п. науках.

Что дала эта эффективизация? А то, что многие неразрешимые задачи стали разрешимыми. Например, с интуитивным понятием об алгоритме невозможно было решить, существует ли вообще алгоритм для решения такой задачи, решение которой никак не находится. Алгоритмы компьютерных программ - это тоже уточненные алгоритмы, выражающие, например, рекурсивные функции.