8.12. Гармонические колебания.

Рис. 49. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и другие. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально совершенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса.

Ч

исло циклов гармонического колебания, совершаемых за 1с, называется частотой этого колебания. Единицу частоты называют герцем. Если точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси х около положения равновесия в начале координат, то зависимость координаты от времени t задается уравнением х = A_mcos(w₀t + ), (8.40).

A_m - максимальное значение х (амплитуда колебания), w₀ - круговая (циклическая) частота,  - начальная фаза колебаний в момент времени

t =0, (w₀t + ) - фаза колебаний в момент времени t. Т

ак как косинус изменяется от -1 до +1, то х принимает значения от - А до А.

Положения точки повторяются через промежуток времени Т (период),

за который фаза колебаний получает приращение 2.

w₀(t + T) = w₀t + 2, (8.41).

откуда T = 2/w₀. (8.42).

В

еличина, обратная периоду колебаний,  = 1/T. т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Поэтому

w₀ =2. (8.43).

Поскольку скорость является первой производной по времени от координаты, а ускорение второй производной,

v = - Aw₀sin(w₀t + ) = Aw₀cos(w₀t +  + /2). (8.44).

a = Aw₀²cos(w₀t + ) = Aw₀ ²cos(w₀t +  + ). (8.45).

Сила F =- am, действующая на точку массой m, равна F = -mw₀²x. (8.46).

Сила пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону.

Рис. 50. Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Кинетическая энергия точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

W_кин. = mv²/2 = [mA₀²w₀²sin²(w₀t +)]/2. (8.47).

W_кин. = [mA₀²w₀² {1 - cos2(w₀t +)}]/4. (8.48).

Потенциальная энергия точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна

W_пот. = - ₀^хFdx = (mw₀²x₀²)/2 = [mA₀²w₀²cos²(w₀t +)]/2. (8.49).

W_пот. = [mA₀²w₀²{1 + cos²2(w₀t +)}]/4. (8.50).

Сумма кинетической и потенциальной энергии дает полную энергию, которая остается постоянной. W_пол. = W_кин. + W_пот. = W_пот. = (mw₀²А₀²)/2, (8.51).

При гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии. Обе энергии изменяются с частотой 2w₀.