8.3. Теорема штейнера.
Момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J0 относительно параллельной оси, проходящей через центр его масс, плюс произведение массы тела m на квадрат расстояния a2 между осями:
J = J0 + ma2. (8.8).
8.4. Кинетическая энергия вращения.
Кинетическая энергия вращающегося тела является суммой кинетических энергий его элементарных объемов Wk.вр.=mivi2/2. (8.9).
Заменяя линейные скорости на угловые, получим
Wk.вр. = (mw2r2)/2 = (mr2w2)/2 = (Jw2)/2, (8.10).
где J - момент инерции (mr2) относительно оси z. Из сравнения кинетических энергий поступательного и вращательного движений, следует, что момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Если тело участвует одновременно в поступательном и вращательном движениях, то энергия движения складывается из энергий двух этих движений.
8.5. Момент силы.
Моментом силы относительно неподвижной точки О, называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку приложения силы, на силу F:
М = [r.F]. M (8.11).
- псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль
|M| = Fr. sin = F.l, (8.12).
где l = r.sin - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой ее приложения (плечо силы). Вектор M0 имеет проекции на оси координат
Mx = yFz – zFy, My = - xFz + zFx, Mz = xMy –yFx. (8.13).
называемые моментами силы F относительно осей Х, У и Z. Если оси координат взаимно ортогональны, то M0 = √Mx2 + My2 + Mz2. (8.14).
Парой сил называют совокупность двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил. Плоскость, в которой они действуют, называют плоскостью пары. Векторный момент пары является свободным вектором, т.е. он характеризуется лишь величиной M = Fh (8.15).
и направлением, а точка приложения произвольна. Система действующих на твердое тело пар с моментами M1, M2 ….. Mn эквивалентна одной паре, называемой равнодействующей M = ∑Mk. (8.16).
Условие равновесия системы пар сил имеет вид M = ∑Mk.= 0. (8.17).
8.6. Работа при вращении твердого тела.
Если сила F приложена к точке О, находящейся от оси вращения на расстоянии r, а - угол между направлением силы и радиус-вектором r, то работа этой силы при вращении абсолютно твердого тела определяется углом поворота тела. При повороте на малый угол d точка приложения силы О проходит путь
ds = rd (8.18).
и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на смещение: dA = F.sin.rd = Md. (8.19).
Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dWk, (8.20).
но dWk. = d(Jw2/2) = Jwdw, (8.21).
поэтому Md = Jwdw (8.22).
или M(d/dt) = Jw(dw/dt). (8.23).
С учетом того, что dw/dt = и d/dt = w, получим M = J, (8.24).
уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
8.7. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.
Момент импульса относительно неподвижной оси О:
L = [r.p] = [r.mv], (8.25).
где r - радиус-вектор, проведенный из точки О к точке приложения силы; p =mv - импульс; L - вектор, направленный по оси вращения. Модуль вектора
|L| = rp.sin = mvr.sin= p.l, (8.26).
где -угол между векторами r и р, l -плечо вектора р относительно точки О. Заменив v = wr, получим L= mwr2 = mr2w = Jw. (8.27).
Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцировав по времени dL/dt = Jdw/dt = J. = M. (8.28).
В замкнутой системе нет внешних сил и их момента, т.е.
M = 0 и dL/dt = 0, откуда L = const. (8.29).
|
Рис. 45. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса: I1ω1 = (I1 + I2)ω. |
(Закон сохранения момента импульса). Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Будет оставаться постоянным и момент импульса замкнутой системы относительно любой оси, проходящей через точку О. Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов внешних сил равна нулю.