6.5. Уравнение бернулли и его следствия.
Выделим в текущей жидкости трубку тока, с сечениями S1 и S2. В месте сечения S1 скорость течения v1, давление р1 и высота, на которой это сечение расположено h1. А в месте сечения S2, скорость течения v2, давление р2 и высота сечения h2. За промежуток времени t жидкость перемещается от сечения S1 и S11 к сечениям S2 и S21.
По закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2 - W1 жидкости равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:
W2 - W1 = A, (6.15).
где W2 и W1 - полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2. Но А - это работа, перемещения жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2, за время t. При перенесении массы m от S1 до S11 жидкость перемещается на расстояние
l1 = v1t. (6,16).
и от S2 до S21 - на расстояние
l2 = v2t. (6.17).
Следовательно,
A = F1l1 + F2l2, (6.18).
где
F1 = p1S1 (6.19).
и
F2 = p2S2. (6.20).
Полные энергии: W1 и W2, будут складываться из потенциальной и кинетической энергий:
W1 =(mv12)/2 +mgh1; (6.21).
W2 =(mv22)/2 +mgh2. (6.22).
Подставим выражение для энергий в выражение для работы:
(mv12)/2 + mgh1 + p1S1v1t = (mv22)/2 + mgh2 + p2S2v2t. (6.23).
По уравнению неразрывности, объем жидкости, постоянен:
V = S1v1t = S2v2t. (6.24).
Разделив уравнение для работы на V, получим
(v12)/2 + gh1 + p1 = (v22)/2 + gh2 +p2, (6.25).
где - плотность жидкости. Для любого сечения
(v2)/2+gh + p = cоnst. (6.26).
Уравнение Бернулли — это закон сохранения энергии для установившегося течения жидкости. Величина р, называется статическим давлением, величина (v2)/2 - динамическим давлением, а gh - гидростатическим давлением. Для горизонтальной трубки тока (h1 = h2) можно записать
(v2)/2 + p = const, (6.27).
где
p + (v2)/2 (6.28).
называется полным давлением. Из уравнений неразрывности и Бернулли следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе с разными сечениями, скорость больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.
В частности, для горизонтально расположенной трубы (h1 = h2) уравнение Бернулли принимает вид:
(ρv2)/2 + p =const. (6.29).
Из него следует, что:
Давление в жидкости, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и наоборот, давление меньше в тех сечениях, в которых скорость больше.
|
Рис. 38. Измерение давления в потоке жидкости с помощью манометров. υ1 < υ2 < υ3; h1 > h2 > h3. |
Если сечение потока жидкости достаточно велико, то уравнение Бернулли следует применять к линиям тока, т.е. линиям, вдоль которых перемещаются частицы жидкости при стационарном течении.
При истечении жидкости из отверстия в боковой стенке или дне широкого сосуда линии тока начинаются вблизи свободной поверхности жидкости и проходят через отверстие.
|
Рис. 39. Истечение жидкости из широкого сосуда. |
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия).
(v12)/2 + gh1 + p1= (v22)/2 + gh2 + p2. (6.30).
Давления р1 и р2 вне жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному (р1 = р2), то уравнение примет вид:
(v12)/2 + gh1 = (v22)/2 + gh2. (6.31).
Из уравнения неразрывности следует, что
v2/v1 = S1/S2, (6.32).
где S1 и S2 - площади поперечных сечений. Если S1 >> S2, то членом v12/2 можно пренебречь и тогда
v22 = 2g(h1 - h2) = 2gh, (6.33).
v2 = 2gh. (Формула Торичелли). (6.34).
.
..
Лекция № 7.