5.6. Импульс.
Физическая величина, равная произведению массы тела на скорость его движения, называется импульсом тела. Импульс тела – векторная величина. Единицей измерения импульса в СИ является (кг·м/с). Физическая величина, равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Второй закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: изменение импульса тела (количества движения) равно импульсу силы. FΔt = ΔP. (5.15)
Рис. 29. Закон сохранения импульса.
Векторное равенство в проекциях на координатные оси:
FxΔt = ΔPx . FyΔt = ΔPy. FzΔt = ΔPz. (5.16).
Рассмотрим в качестве примера одномерное движение, т.е. движение тела по одной из координатных осей (например, оси OY). Пусть тело свободно падает с начальной скоростью v0 под действием силы тяжести; время падения равно t. Направим ось OY вертикально вниз. Импульс силы тяжести Ft = mg за время t равен mgt. Этот импульс равен изменению импульса тела
.Ftt = mgt = ΔP = m(v – v0), (5.17).
откуда v = v0 + gt. (5.18).
Если движение тела во время действия силы происходило по криволинейной траектории, то начальный P1 и конечный P2 импульсы тела могут отличаться не только по модулю, но и по направлению. Если на тело действует сила, то эта сила равна скорости изменения суммарного импульса тела. При взаимодействии тел импульс одного тела может частично или полностью передаваться другому телу. В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Закон сохранения импульса является следствием из второго и третьего законов Ньютона. Силы взаимодействия между двумя телами обозначим через F1 и F2. По третьему закону Ньютона F2 = - F1. Если эти тела взаимодействуют в течение времени t, то импульсы сил взаимодействия одинаковы по модулю и направлены в противоположные стороны: F2t = - F1t. Применим к этим телам второй закон Ньютона: F1t = m1v11 – m1v1., F2t = m2v21 – m2v2. (5.19).
Где m1v1.и m2v2. - импульсы тел в начальный момент времени, m1v11 и m2v21 – импульсы тел в конце взаимодействия. Из этих соотношений следует:
m1v1 + m2v2 = m1v11 + m2v21 . (5.20).
Это равенство означает, что в результате взаимодействия двух тел их суммарный импульс не изменился p = pi = const. dp/dt=0; (5.21).
Этот закон говорит о том, что обмен импульсами внутри системы не приводит к изменению суммарного импульса всей системы, если не действуют внешние силы.
5.7. Абсолютно упругий удар.
|
Рис. 30. Абсолютно упругий центральный удар шаров. |
Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют решать задачи в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Удар — это столкновение двух тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Тела во время удара претерпевают деформацию и кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами.
В механике используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары. Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращаются в кинетическую энергию. Для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и кинетической энергии.
Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Рассмотрим это на примере удара двух шаров массами m1 и m2, двигающихся со скоростями v1 и v2 до удара и со скоростями v11 и v21 после удара.
m1v1 + m2v2 = m1v11 + m2v21, (5.22)
и [m1v12]/2 + [m2v22]/2 = [m1(v11)2]/2 + [m2(v21)2]/2 . (5.23).
Проведя соответствующие преобразования, получим
m1(v1 - v11) = m2(v21 - v2) и m1[v12 - (v11)2] = m2[(v21)2 - v22] (5.24)
откуда v1 + v11 = v2 + v21. (5.25).
Решая эти уравнения, находим v11 = [(m1 - m2)v1 + 2m2v2]/(m1 + m2); (5.26).
v21 = [(m2 - m1)v2 + 2m1v1]/(m1 + m2) ; (5.27).
ПРИМЕРЫ:
При v2 = 0; v11 = [(m1 - m2)/(m1 + m2)].v1; v21 = [2m1/(m1 + m2)].v2
а) m1 = m2. Если второй шар был до удара неподвижен, v2 = 0,
то после удара остановится первый шар (v11 = 0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара (v21 = v1);
б) m1 > m2 . Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью
(v11 < v1). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v21 > v11)
в) m1 < m2. Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в
ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью (v1 < v1).
г) m2 >> m1. (Cтолкновение шара со стеной.) v11 = - v1. v21 0.
При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой. При таком ударе центры шаров не только сближаются из-за деформации, но и скользят по поверхности друг друга. Возникшие при этом силы трения приводят к изменению скорости шаров и возникновению вращательного движения. Если силы трения отсутствуют, то тангенциальные силы во время столкновения не возникают и, следовательно, тангенциальные скорости шаров изменяться не будут. Нормальные составляющие скорости после удара можно определить на основании закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии так же, как и при центральном ударе. После нецентрального соударения шары разлетаются под углом друг к другу.
|
Рис. 31. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы. d – прицельное расстояние. |
Для определения скоростей u1 и u2 после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d, т.е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости v1 налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей u1 и u2 шаров после упругого соударения направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m1 = m2 = m эти законы принимают вид: .
v1 = u1 + u2, v22 = u12 + u22. (5.28).
Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей .v1, u1, u2, образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т.е. он прямоугольный. Угол между катетами u1 и u2 равен 90°.