4.Жоғары ретті дербес туындылар мен дифференциалдар

Егер функциясының Q аймағында айнымалылардың бірі бойынша дербес туындысы бар болса, онда бұл туындыны айнымалыларының функциясы деп қарастырып және осы аймақтың нүктесінде оның айнымалылары бойынша дербес туындылары бар деп есептеп, одан екінші ретті дербес туынды алуға болады.

Егер бірінші туынды бойынша алынса, онда оның бойынша алынған екінші ретті туындыларын былай белгілейді:

немесе

Келесі 3-ші, 4-ші тағы сол сияқты ретті туындылар да осылай анықталады. Әр түрлі айнымалылар бойынша алынған жоғары ретті туындыны аралас дербес туынды дейді.Мысал 7 Берілген функциясының екінші ретті дербес туындыларын табайық.

,

Енді екінші рет дифференциалдаймыз:

Аралас дербес туындылар жөнінде мынадай теорема орындалады.

Теорема 5 функциясы Q облысында анықталып осы облыста туындылары бар болса, және пен туындылары нүктесінде үзіліссіз болса, онда теңдігі орындалады.

функциясының Q облысында бірінші ретті үзіліссіз туындылары болса, онда функцияның толық дифференциалы деп мына формула бойынша анықталады:

,

мұндағы  тәуелсіз айнымалыларының дифференциалдары (ақырсыз аз өсімшелері).

Егер функциясының екінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда -тің бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар болады және осы дифференциалының толық дифференциалы берілген функциясының екінші ретті дифференциалы деп аталады. Сонымен, дифференциалдау ережесін пайдаланып төмендегі формулаға келеміз:

немесе, аралас туындылардың өзара тең болатынын ескеріп,

(7.11)

теңдігіне келеміз. Үшінші ретті дифференциал -те және одан жоғары ретті басқа дифференциалдар да осы сияқты анықталады. Жалпы функцияның -ші ретті дифференциалы

(7.12)

теңдігі арқылы анықталады.

17.Кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдықтың анықтамалары. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары.

Жалпы айтқанда, А оқиғасының пайда болу мүмкіндігінің сандық мөлшеріне р(А) функциясының мәні алынады. Мұны осы А оқиғасының ықтималдығы деп атайды. Ықтималдықтың классикалық анықтамасын алғаш рет берген Лаплас еді.Ықтималдықтың классикалық анықтамасы оқиғалардың тең мүмкіндіктеріне (тең ықтималдығына) сүйенеді. Анықтама. А оқиғасы қолайлы жағдайлар санының (т) сынаудың тең мүмкіндікті барлық жағдайлар санын (п) қатынасын А оқиғасының ықтималдығы деп атайды және былай жазады:

Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама дейміз. Бұдан төмендегі салдар шығады.

1)Ақиқат оқиға ықтималдығы 1-ге тең

Шынында, оқиға ақиқат болу үшін А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т сынаудың барлық тең мүмкіндікті жағдайлар саны п-ге тең, яғни m=n болады. Онда (1) бойынша

2)Мүмкін емес оқиға ықтималдығы нөлге тең.

Шынында да, егер оқиға мүмкін емес болса, онда А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльге тең болады. Олай болса

3. А оқиғасының ықтималдығы р(А) нөль мен бір аралығындағы оң таңбалы сан. Шынында, А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны т нөльден п-ге дейінгі, өздерін қоса алғандағы, мәндерді қабылдайды, яғни

,

немесе

Жәшікте 3 ақ шар, 5 қызыл шар, 2 жасыл шар бар. Бұл шарлардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар алынды. Алынған шар: а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б) жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Шарлардың үлкендігі мен салмағы бірдей болғандықтан, олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей. Бір түсті шар шыққанда екінші түсті шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=10. А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m=3. Демек,

немесе 30% болады.

ә) немесе 50% болады б) немесе 20%

болады

a)Қосу теоремасы

Ықтималдықтарды есептеу сынаудың жалпы саны мен оқиғаның пайда болуына қолайлы нәтижелер санын анықтауға келіп тіреледі. Бұларды тікелей есептеу көп жағдайда үлкен қиындыққа ұшыратады. Оның үстіне, практикада кездесетін оқиғалар күрделі болып келеді де, олардың ықтималдығын табу үшін, ол оқиғаларды бірнеше қарапайым оқиғалардың қосындысы не көбейтіндісі түрінді жазып, солардың ықтималдықтары арқылы күрделі оқиға ықтималдығын анықтайды. Ол үшін негізінен ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларын пайдаланады.

Қосу теоремасы. Үйлесімсіз А және В оқиғаларының қосындысының ықтималдығы олардың ықтималдықтардың қосындысына тең, яғни

Д/уі: Теореманы дәлелдеу үшін (1) теңдіктегі үш ықтималдықты есептеп, ол мәндерді (1) теңдікке қойып, оның дұрыстығына көз жеткізу жеткілікті.

Қосудың кеңейтілген теоремасы

Егер А₁, А₂, ...,А_п қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар болса, онда бұлардың қосындысының ықтималдығы олардың әрқайсысының ықтималдықтарының қосындысына тең болады, яғни

1-салдар. Оқиғалардың толық тобын құрайтын қос-қостан үйлесімсіз сынау нәтижелері ықтималдықтарының қосындысы бірге тең.

2-салдар. Қарама-қарсы екі оқиға ықтималдықтарының қосындысы бірге тең, яғни

.

Екі мерген жоғары лақтырылған дискіні атып түсіруі керек.Егер А={бірінші мергеннің дискіні атып түсіруі};В={екінші мергеннің дискіні атып түсіруі} болса,«дискінің атып түсірілуі» оқиғасы қалай белгіленетінін қарастырайық. Дискі атып түсірілуі үшін оны бірінші мерген,не екінші мерген,не екі мерген де дәл атып тигізуі керек.Қысқаша айтсақ,екі мергеннің кемінде біреуі дәл тигізуі жеткілікті. А мен В оқиғаларының кемінде біреуі орындалғанда мпайда болатын оқиғаны осы оқиғалардың қосындысы деп атайды.Біз алдымызда тұрған проблемманы шешу үшін осы анықтамаға сүйене отырып келесі орындауларды істейміз:

А+В={дискінің атып түсірілуі }

Міне,бұл да ықтималдықтар теориясының заңдарының бірі.

Бұл анықтамаға сүйене отырып,алдымызда тұрған проблемманы

шештік.

Үйлесімсіз оқиғаларды қосу

Ойын сүйегін бір рет лақтырғанда пайда болатын барлық мүмкін

оқиғалар:

А₁ {1 ұпай түсуі } А₂ {2 ұпай түсуі }

А₃ {3 ұпай түсуі } А₄ {4 ұпай түсуі }

А₅ {5 ұпай түсуі }

А₆ {6 ұпай түсуі }

Бұлар өзара үйлесімсіз оқиғаларға жатады.

Үйлесімсіз екі оқиға ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының

қосындысына тең:

Р(А+В )=Р(А)+Р(В)

Бұл теорема үйлесімсіз оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс

болады.А₁,А₂....оқиғалары өзара үйлесімсіз болса,онда

Р(А₁+А₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+P(A_n)

Барлық мүмкін болатын үйлесімсіз оқиғалар ықтималдығы бірге тең

болады.

Осы анықтамаға сүйене отырып бұл есептің нәтижесіне жете аламыз:

Осы алты оқиғаның пайда ықтималдықтары бірге және тең

Енді формулаға сүйеніп ықтималдықтарын қосайық

P(A₁)+P(A₂)+P(A₆)= + + + + + =6* =1.

a)Ықтималдықтарды көбейту теоремасы

Теорема. Екі тәуелді оқиға көбейтіндісінің ықтималдығы біреуінің шартсыз ықтималдығын сол оқиға пайда болды деп алынғандағы екінші оқиғаның шартты ықтималдығына көбейткенге тең:

Мысал. М О С К В А сөзін құрастыратын кеспе әріптер әбден араластырылып, 4 кеспе әріпті қатарынан қойғанда К В А С сөзінің шығу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Бірінші алынған кеспе әріп К болуы А₁ оқиғасы болсын, екіншісі В болуы –А₂, үшіншісі А болуы –А₃, төртіншісі С болуы А₄ оқиғасы болсын десек, онда КВАС сөзінің пайда болуы А оқиғасы болады. Көбейту теоремасы бойынша

болып шығады.

Теорема. Екі тәуелсіз оқиғалар көбейтіндісінің ықтималдығы олардың шартсыз ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең, яғни

болады.

b)Тәуелсіз және тәуелді оқиғалар.

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, ондай екі оқиғаны тәуелсіз деп атайды.

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертетін болса, ондай оқиғаны тәуелді оқиғалар деп атайды.

А оқиғасының пайда болуы В оқиғасының пайда болуына байланысты, яғни А оқиғасының пайда болу ықтималдығы В оқиғасының пайда болуына байланысты өзгереді. Мұндай ықтималдықты шартты ықтималдық деп атайды. Шартты ықтималдықты былай белгілейді: - В оқиғасы орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.

- оқиғалары орындалғанда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы.

c) Толық ықтималдық

Айталық, Н₁, Н₂, ...,Н_п оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын болсын. Ал В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен ғана бірігіп орындалады дейік. Оның үстіне р(Н₁), р(Н₂), ...,р(Н_п) және ықтималдықтары белгілі болсын. Осы берілгендер бойынша В оқиғасының ықтималдығын анықтауға бола ма және ол неге тең деген сұрақ туады. Мұның жауабын ықтималдықтың толық формуласы береді.

Шынында,

(1)

Ал Н₁, Н₂, ...,Н_п қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз. Олай болса, бұл оқиғаларға қосу теоремасын қолдануға болады. Сонда

шығады.

Көбейту теоремасы бойынша

болады.

Демек,

немесе

(2)

жоғарыдағы берілгендері бойынша В-нің ықтималдығын осы (2) формуламен анықтайды. Бұл формуланы ықтималдықтардың толық формуласы деп атайды. Әдетте, Н₁, Н₂, ...,Н_п оқиғаларын гипотезалар (болжамдар) деп атайды.

Байес формуласы.Осы уақытқа дейін қарастырып келген ықтималдықтар интуитивті түрде теориялық болжамдарға сүйеніп, тәжірибе жүргізбей-ақ, комплекс шарт жөніндегі білім (түсінік) негізінде анықталып келді. Тәжірибеге дейінгі Н₁, Н₂, ...,Н_п гипотезалар (оқиғалар) ықтималдығы сәйкес түрде р(Н₁), р(Н₂), ...,р(Н_п) болатынды.

Тәжірибе жүргізілді делік, соның нәтижесінде В оқиғасының пайда болғаны анықталды, енді осы В оқиғасының пайда болуына байланысты Н₁, Н₂, ...,Н_п гипотезаларының ықтималдығын қайта қарауға тура келеді. Яғни ықтималдықтар мәнін анықтауға тіреледі. Бұл ықтималдықты анықтау үшін, көбейту теоремасы мен ықтималдықтардың толық формуласын пайдаланамыз.

Тәуелді оқиғалар В мен үшін

Бұдан

шығады. Бұл формулаға толық ықтималдық формуласынан мәнін қойсақ, онда

шығады. Осы (3) формуланы Байес формуласы деп айтады.P(H_i) ықтималдықтары гипотезалардың априорлы (тәжірибеге дейінгі) ықтималдықтары,ал P_B(H_i)-апостериорлы (тәжірибеден кейінгі) ықтималдықтары деп аталады.

16.Анықталған интегралды аналитикалық шешу үшін Ньютон-Лейбниц формуласын қолданады:

(2.1)

мұндағы - функциясының алғашқы функциясы. Бірақ практикада бұл формуланы екі себепке байланысты қолдана алмаймыз:

1) -функциясының алғашқы түрін қарапайым функциялар арқылы сипаттай алмайтындықтан;

2) -функциясының шамасы тек кесте түрінде берілсе.

Бұл жағдайларда интегралды шешеу үшін сандық әдістер қолданады. Сандық әдіс бойынша анықталған и нтегралдың мәні осімен, және түзулерімен және функциясының қисығымен шектелген трапецияның ауданына тең.

Трапецияның ауданың есептеу үшін аралығын элементар аралыққа бөлеміз бұл жердегі , . Төртбұрыштардан тұратын сатылы фигураны саламыз. Әр бір төртбұрыш абцисса өсімен, , түзулерімен және функциясымен құралған. АВСД төртбұрышының ауданы келесі формула бойынша есептеледі:

мұндағы .

2.1 -сурет. Сол интегралдық қосынды

Кез-келген төртбұрыштың ауданы:

мұндағы интегралдау қадамы. Онда сатылы фигураның ауданы:

(2.2)

мұндағы -интегралды қосынды деп аталады.

Бөлу нүктесін көбейтіп және барлық элементтерін нөлге ұмтылдырсақ онда сатылы фигураның жоғарғы шекарасы сызығына ауысады, сондықтан интегралды келесі түрде жазамыз:

. (2.3)

шеткі мәнге ие болған жағдайда, интегралдық қосындының көмегімен анықталған интегралдың мәнін келесі формула бойынша есептеледі:

(2.4 )

мұндағы екінші қосынды әдістің қателігі болып табылады. Ол қадамға байланысты болады.

(2.2) интегралды қосындысы сол қосынды деп аталады. Оң интегралды қосындыны алу үшін абцисса өсімен, , түзулерімен және функциясымен құралатын сатылы фигураны саламыз.

Оң интегралды қосынды бойынша есептеу формуласы:

. (2.5)

2.2-сурет. Оң интегралдық қосынды

Сонымен қатар оң және сол төртбұрыштар әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналатын орташа мәндер әдісі бар. Бұл әдісте аралықтарындағы орта мән алынады:

. (2.6)

Трапеция әдісінде интегралдық қосындыны элементар трапециялардың аудандарының қосындылары ретінде қарастырамыз (2.3 -сурет):

(2.7)

2.3-сурет. Трапеция әдісінің көрінісі

Симпсон әдісі - анықталған интегралды шешудің алдынғы әдістерге қарағанда дәлірек әдіс болып саналады. Бұл әдісте көршілес жатқан үш нүкте арқылы параболла жүргізіледі. Нәтижесінде интегралды қосынды абцисса өсімен, , түзулерімен және көрсетілген параболамен құралған қисық сызықты трапециялардың аудандарының қосындысы түрінде ізделінеді. Интегралдау қадамын тұрақты түрде алсақ, онда Симпсон әдісі бойынша интегралдық қосынды келесі түрде жазылады:

. (2.8)

Y”=x² +y² екінші ретті дифференциалдық теңдеуді жуықтау

Х₀= -1 y(-1)=2 y’(-1)=1/2

Y=f(x)

Y(x)= y(x₀) + y’(x₀)/1! (x-x₀) + y”(x₀)/2! (x-x₀)² +…+ y⁽ⁿ⁾ (x₀)/n! (x-x₀)ⁿ +…

Y= 2 + 1/2 (x+1) + y”(-1)/2! (x+1)² + y’’’(-1)/3! (x+1)³+ y^iv(-1)/4! (x+1)⁴ +…

Y”(-1)= 1+2² = 5

Y’’’= 2x+2y* y’= -2+2*2*1/2 =0

y^iv=2+2(y’)² +2y*y”=2+1/2 +2*2*5= 45/2

Жалпы шешімі:

Y= 2 + (x+2)/2 + 5(x+1)²/2 + 45/48 (x+1)⁴