5.Көп айнымалылы функциялар экстримумы
1.
Экстремумның
қажетті шарттары
. Айталық
берілсін. Егер
нүктесінен маңайында жататын
нүктесі үшін
теңсіздігі орындалса, онда
функциясы
нүктесінде өзінің жергілікті минимумын
(максимумын) қабылдайтын болады. Мұндағы
функцияның экстремум нүктесі деп
аталады.
Теорема.
Егер дифференциалданатын
функцияның
нүктесінде экстремумы бар болса, онда
осы нүктеде
теңдіктері орындалады.
2.
Экстремумның
жеткілікті шарты.
Айталық
функциясының екінші ретті туындлары
бар болсын және
нүктесі стационарлық нүкте болатын
болсын, яғни
онда:
1.
функциясы
нүктесінде максимумын қабылдайды, егер
және
2.
функциясы
минимумын қабылдайды ,егер
және
3. функциясы нүктесінде экстремумды қабылдамайды егер
3 .Берілген бағыт бойынша туынды. Градиент
12.Сандық қатары және оның жинақтылығы
А) Қатарларды салыстыру белгілері.
1-теорема (жинақтылықтың жеткілікті белгісі)
және
оң таңбалы қатарлары берілген дейік.
Айталық бірінші қатардың мүшелері екінші қатардың сәйкес мүшелерінен артық болмасын:
(2,1)
Және (В) қатары жинақты болсын. Сонда (А) қатары да жинақты және оның қосындысын (В) қатарының қосындысынан арпайды.
2-теорема.
Айталық
(А) және
(В) қатарлары берілсін. Сонымен бірге
және (В) қатары жинақсыз болсын. Сонда
(А) қатары да жинақсыз болады.
В) Даламбер белгісі. а) Егер оң таңбалы
(2,9)
қатарының
мүшесінің
-мүшесіне
қатынасы
-дағы
шегі, яғни
(2,10) шегі бар болса, онда
болғанда қатар жинақты, ал
болғанда жинақсыз болады.
Дәлелдеу.
а) Айталық
болсын. Қатардың жинақты болатынын
көрсетейік. Шынында
болғандықтан, шектің анықтамасына
сәйкес кез келген
саны үшін
нөмірін
болғанда қатардың барлық мүшелері
теңсіздігі орындалатындай етіп таңдап
алуға болады. Бұдан,
немесе
болатынын шығады. Ал
десек,
теңсіздігін аламыз.
ә)
Айталық
болсын. Қатардың жинақсыз болатынын
көрсетейік. Шынында, бұл жағдайда,
болғандықтан,жеткілікті
үлкен
нөмірден
бастап
немесе
теңсіздігі орындалады. Сонымен,
нөмірлі мүшесінен бастап, қатардың
мүшелері артады. Сондықтан
яғни жинақты қажетті шарты бұзылады.
Демек, қатар жинақсыз болады екен.
Демек, берілген қатар жинақты.
Даламбер
белгісімен қатардың жинақты, не
жинақсыз болатынына жауап ала алмаған
жағдайда, яғни
болғанда, салыстыру белгілерінен басқа
тағы да бір жеткілікті белгілерді
қолдану мүмкін болады. Енді тағы бір
жеткілікті белгіні-Кошидің белгісін
келтрейік.
с)
Коши белгісі.
Егер оңтаңбалы
қатары үшн
шегі бар болса, онда қатар
болғанда жинақты, ал
болғанда жинақсыз болады.
Кошидың интегралдық белгісі. Айталық
яғни
мүшелері
аралығында үздіксіз, оң және кемімелі
кейбір
функциясының
мәндері болатын қатары берілсін.
Сонда
а)
егер
жинақты болса, онда
қатары да жинақты болады,
ә) егер жинақсыз болса, онда қатары да жинақсыз болады.