20. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары.

Анықтама. Тәжирібенің нәтижесінде әртүрлі мән қабылдай алатын шаманы кездейсоқ шама деп атайды.

Кездейсок шамалар x,y,арқылы белгіленеді де оның мәндерін x₁,x₂,…,x_n; y₁,y₂…y_n арқылы белгілейді. Кездейсоқ шамалардың қабылдайтын мәндеріне қарап,оларды екі топқа бөледі:

Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалар (дискретті-үзікті)

x кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері ақырлы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ондай кездейсоқ шаманы дискретті деп атайды(үзікті шама).

Егер x кездейсоқ шамалы шекті немесе шексіз интервалдың барлық мәндерін қабылдайтын болса, оны үздіксіз кездейсоқ шама деп атайды.

Мысалдар

1) ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар саны дискретті кездейсоқ шама. Оны x арқылы белгілесек қабылдайтын мәндері 1,2,3,4,5,6 болады;

2) екі ойын сүйегі лақтырылсын. Түскен ұпайлар санын ескерейік. Үлестірім заңын табайық.

Шешімі: Кездейсоқ шама x 2 ден 12 ге дейін, ал оның барлық жағдайы мәнін қабылдайды

1 2 3 4 5 6 7

36

1 2 3 4 5 6

Ықтималдықтарды есептейік:

Сонымен үлестірім заңы мына кестемен өрнектелер

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P

Кестедегі

Үлестірім кестесінің екінші жолда тұрған сандар теріс емес,яғни және ол сандардың қосындысы бірге тең.

X кездейсоқ шамасының х_1,х₂,…х_n мүмкін мәндерінің әйтеуір бірін қабылдайтындығынан х₁,х₂,…х_n бірікпейтін толық топ құрады.

Егер х кездейсоқ шамалы х₁,х₂,…,х_n мәндерін p₁,p₂,…p_n ықтималдықтарымен қабылдаса, онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті деп

қосындысын айтады да M(x) арқылы белгінеледі. Егер i=1,2,…,n,… болса онда дискретті кездейсоқ шаманың математиқалық үміті

Математиқалық үміттің қасиеттері:

1. Тұрақты шаманың математиқалық үміті сол шаманың өзіне тең.

M(C)=C, C=const.

Кездейсок шама тек қана С мәнін қабылдайды да оның ықтималдығы бірге тең болады.

2. Тұрақты көбейткішті математиқалық үміт таңбаcының алдына шығаруға болады2

M(CX)=CM(x), C=const.

Анықтама бойынша

3. Екі кездейсоқ шамалардың қосындысының (айырымының) математикалық үміті сол шамалардың математикалық үміттерінің қосындысына (айырымына) тең, яғни

Дәлелдеу: Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін дәлелденеді.

1. Екі кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса олардың көбейтіндісінің математикалык үміті көбейткіштердің математикалық үміттерінің көбейтіндісінде тең:

M(xy)=M(x/M/y)

Үшінші,төртінші қасиеттері n кездейсоқ шамалар үшін жалпылауға болады.

3⁰. M(x₁+x₂+…x_n)=M(x₁)+M(x₂)+…+M(x_n)

4⁰. мұндағы X₁,X₂,…,X_n-тәуелсіз кездейсок шамалар.

Дисперсия дегеніміз кездейсоқ шаманың математикалық үмітіне қарағандағы таралымы (шашырауы), бытырауы.

Механикалық ұғымда дисперсия кездейсоқ шаманың инерциялық моменті (массаның таралымының) егер математикалық үмітті массаның центрі деп алсақ.

Дисперсия кездейсоқ шаманың квадратымен өлшемдес. Таралымның кездейсоқ шамамен өлшемдес болу үшін жаңа ұғым кездейсоқ шаманың орташа квадрат ауыткуы енгізіледі. Ол

сигма X деп оқылады.

Орташа квадрат ауыткуды стандарт немесе стандарт ауытку деп атайды.

ол орташа квадрат ауыткудың математикалық үмітке қатынасы.

Енді дисперсияның қасиеттерін қарастырайық

1. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең

Д(С)=0

Расында, егер С=const болса онда (2) формула бойынша

Д(С)=М(С²)-М²(С)=С²-С²=0

2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады.

Шынында (2) формула бойынша

3. Егер x пен y кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса онда

Д(x+y)=Д(x)+Д(y)

Дәлелдеу: (2) формулаға математикалық үміттің қасиеттерін қолданып кездейсоқ шамалардың тәуелсіздігін ескерсек.

4. 

Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың айырымының дисперсиясы сол шамалардың дисперсиясының қосындысына тең.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясының квадрат түбірін осы кездейсоқ шаманың квадраттық ауытқуы деп атайды.

Квадраттық ауытқуды былай белгілейді:

ал дисперсиясы

Сонда орташа квадраттық ауытқуы

Анықтама: Егер Х кездейсоқ шамасы 0,1,2,…n мәндерін қабылдаса, бұл мәндерді қабылдау ықтималдықтарды

мұндағы

болса, онда кездейсоқ шаманы геометриялық үлестірім заңына бағынады дейді.

Анықтама: Егер Х кездейсоқ шамасы 0,1,…,n мәндерін қабылдаса және бұл мәндерді қабылдау ықтималдықтары

мұндағы

болса, онда Х кездейсоқ шамасын гепергеометриялық үлестірім заңына бағынады дейді. Анықтама бойынша, үлестірім кестесі берілген кездейсоқ шаманы толық анықталған деп атайды.

Анықтама: Тәуелсіз тәжірибеде Ā оқиғасы қатарынан (m-1) рет пайда болып, сосын А оқиғасы рет пайда болуының ықтималдығы мына формуламен анықталады

Ықтималдығы осы формуламен анықталған кездейсоқ шама Паскаль үлестірімімен берілген дейді. Геометриялық үлестірім Паскаль үлестрімінің жеке жағдайы, яғни =1 болғанда геометриялық үлестірімді аламыз.

Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) деп теңсіздігі орындалу ықтималдығын айтады.

Дискретті Х кездейсоқ шамасы үшін

Мұндағы х₁,х₂,…,х_n- кездейсок Х шамасының қабылдайтын мәндері, p₁,p₂,…,p_n –сол мәндерді қабылдау ықтималдықтары,ал қосынды теңсіздігіне сәйкес барлық . сандары бойынша алынады. Үлестірім функциясы дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларға да қатысты болады.

Енді интегралдық үлестірім функциясының қасиеттерін көрсетейік:

1. үлестірім функциясы F(x) функциясы оң, шектелген функция

себебі ол ықтималдықты көрсетеді

Оның графигі (сүлбесі) y=0, y=1 түзулерінің арасында орналасқан;

2) үлестірім функциясы кемімейтін функция, яғни болғанда болады.

Шынында да оқиғасын және оқиғасының қосындысы деп қарастыруға болады, сондықтан ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша

болып, осыдан

теңдігін аламыз. Ал бұл теңдікті (Х₁,Х₂) аралығына қолдансақ.

бұл теңдіктің сол жағы оң сан демек

1 Егер Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері тек (a,b) аралығында болса мәндерінде F(x)=0 және мәндерінде F(x)=1 болады.

Жалпы жағдайда болады деп есептелінеді.

Дискретті кездейсок шаманың үлестірім функциясының сүлбесі сатылы баспалдақты (1-сүлбе) болса, үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының сүлбесінің жалпы түрі 2-сүлбеде көрсетілген.

2 Үлестірім функциясы сол жағынан үздіксіз функция.

F(x)

1

1. y =F(x) x

2-сүлбе үздіксіз кездейсоқ шаманың интегралдық үлестірім функциясының қисығын бейнелейді

Егер Х-үздіксіз кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы F(x) болса, онда

тендігін аламыз.

Анықтама. Х кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздағы f(x) деп үлестірім F(x) функциясының туындысын айтады.

яғни үлестірім тығыздығы үлестірім функциясының туындысына тең

Үлестірім тығыздығының мынандай қасиеттері бар:

1) үлестірім тығыздығы теріс емес функция, себебі ол кемімейтін F(x) функциясының туындысына тең

2) үлестірім функциясы үлестірім тығыздығы арқылы былай өрнектеледі

шындығында болғандықтан

Үлестірім функциясы F(x) үлестірім тығыздығы функциясы f(x)-тің сүлбесінде штрихталған аудан арқылы өрнектеледі.

Үлестірім тығыздығын кездейсоқ шаманың дифференциалдық функциясы деп те атайды

Себебі,

1. Кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса онда

Шынында,

2. Үлестірім тығыздығы үшін

яғни OX өсімен және үлестірім тығыздығы y=f(x) қисығымен шектелген фигураның ауданы бірге тең болады.

Мысал. Кездейсоқ Х шамасының үлестірім тығыздығы

берілген

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті мен дисперсиясы.

Егер аралығынан мән қабылдайтын Х үздіксіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы f(x) болса, онда бұл кездейсоқ шаманың математикалық үміті деп

абсолютті жинақты меншіксіз интегралын айтады.

Ал Х кездейсоқ шамасы интервал мәндерін ғана қабылдайтын болса математикалық үміт

интегралымен айықтылады.

Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы анықтама бойынша

формуласымен анықталатын болғандықтан, мәндері үшін

Меншіксіз интегралы арқылы есептеледі. Орташа квадраттың ауытқуы

формуласымен табылады.

Ал Х кездейсоқ шамалы (a,b) интервал мәндерін қабылдаса дисперсия

интегралымен есептеледі.

Көп жағдайда дисперсия мына формула арқылы анықталады: