Функция принадлежности и методы ее построения

На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают

аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Это уп-

рощает не только соответствующие численные расчеты, но и сокращает вычислительные ре-

сурсы, необходимые для хранения отдельных значений этих функций принадлежности.

3.-------

4. Функции принадлежности и методы их построения

Введенное определение нечеткого множества (2.1) не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x, нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности [32], [33].

Треугольные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.:

• треугольная и трапецеидальная функции

trimf x,a,b,c = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; c - x c - b , b ≤ x ≤ c ; 0 , c ≤ x ;    trapmf x,a,b,c,d = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; 1 , b ≤ x ≤ c ; d - x d - c , c ≤ x≤ d ; 0 , d ≤ x ;

 

Z-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «малое количество», «небольшое значение», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический Z-сплайны

zm f 1 x,a,b = 1 , x ≤ a ; 1 - 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 0 , b ≤ x ;    zm f 2 x,a,b = 1 , x < a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b; 0 , x > b ;

 

• Z-сигмоидальная и Z-линейная функции

sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a < 0;    zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ < x ≤ c ; d - x b - c , c < x ≤ d ; 0 , x > d ;

 

S-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический S-сплайны

sm f 1 x,a,b = 0 , x ≤ a ; 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 1 , b ≤ x ;    sm f 2 x,a,b = 0 , x < a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ;1 , x > b;

 

• S-сигмоидальная и S-линейная функции

sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a > 0 ;    slinemf x,a,b = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a < x ≤ b ; 1 , x > b ;

 

П-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.:

• колоколообразная и гауссова функции

gbellmf x,a,b,c = 1 1 + x - c a 2b ;    gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2σ 2

 

Существует множество других функций принадлежности нечетких множеств, заданных как композиции вышеупомянутых базовых функций (двойная гауссова, двойная сигмоидальная и т.п.), либо как комбинации по участкам возрастания и убывания (сигмоидально-гауссова, сплайн-треугольная и т.п.).

Функция принадлежности μ A x – это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A . В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A x с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут R , который характеризует некоторую совокупность объектов X . Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством R , тем более близко к соответствующее значение μ A x . Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством R , то μ A x = 1 , если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством R , то μ A x = 0 . Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности [18]-[20].

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом – наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x – расход теплоносителя, X 0;x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ A x ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ A x= 0 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. Приμ A x = 1 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Метод относительных частот. Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m - n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A x = n 1 n 1 + n 2 = n 1 m .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры, X - x max ; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.2.1.

Табл.2.1

Для непрерывного представления нечеткой переменной используем какую нибудь из П-образных функций принадлежности, например, Гауссову. Из множества гауссовых функций gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 через характерные точки функции принадлежности: точку перехода μ A 3= 0,5 и максимумμ A 5= 1 ; проходит функция с параметрами σ = 1,7 , c = 5 . В качестве альтернативного метода перехода от дискретного ряда точек к непрерывному заданию функции принадлежности можно предложить поиск параметров Гауссовой функции принадлежности, максимально близко аппроксимирующей дискретный ряд по критерию СКО (рис.2.4).

5.

1. Дополнение нечеткого множества   обозначается символом  (или иногда  ) и определяется следующим образом:

                                   (3.33)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Так, например, если   — названиенечеткого множества, то «не  » понимается как   (см. пример 3.8).

2. Объединение нечетких множеств   и   обозначается   (или, что более привычно,  ) и определяется следующим образом:

                         (3.34)

Объединение соответствует логической связке «или». Так, если, например,   и   — названия нечетких множеств, то запись «  или  » понимается как  .

3. Пересечение   и   обозначается   и определяется следующим образом:

                         (3.35)

Пересечение соответствует логической связке «и», т. е.

                                                             (3.36)

Замечание 3.7. Следует иметь в виду, что

и 

— не единственные операции, посредством которых можно определить операции объединения и пересечения (по этому вопросу см. [25] и [26]). В связи с этим важно отметить, что если операция «и» определяется с помощью операции min, как в (3.36), то она является «жесткой» в том смысле, что в ней недостаточно учитываются функции принадлежности обоих множеств. В противоположность этому операция «и», определяемая с помощью арифметического произведения, как в (3.37), является «мягкой». Какое из этих двух, а возможно, и других определений является наиболее подходящим, зависит от смысла, вкладываемого в эту операцию в каждом конкретном случае.