6. Теореми про граничні значення.

(1.15)

Ці теореми дозволяють визначити усталене (кінцеве) або початкове значення функції х(t) за відомим зображенням.

7. Теорема розкладу. Теорема дозволяє знайти оригінал за відомим зображенням, яке являє собою дробово-раціональну функцію X(s) = A(s)/B(s), причому ступінь полінома чисельника менше ступеня полінома знаменника. Якщо всі корені рівняння B(s)=0 прості, то формула розкладу може бути записана у вигляді:

(1.16)

де n - ступінь полінома B(s); S_k - корені рівняння B(s) = 0.

У таблиці 1.1 наведені деякі важливі перетворення Лапласа.

Таблиця 1.1  Перетворення Лапласа найпростіших функцій

Функція x(t)	Зображення X(s)	Функція x(t)	Зображення X(s)
1(t)	1/s	t	1/s2
(t)	1	t2	2/s3
'(t)	s	tn	n!/sn+1
e-t	1/(s+)	1- e-t	/[s(s+)]
te-t	1/(s+)2	e-t sin(t)	/[(s+)2+2]
sin(t)	/(s2+2)	e-t cos(t)	(s+)/[(s+)2+2]
cos(t)	s/(s2+2)

Приклад 3. Користуючись теоремою розкладу, знайти оригінал функції.

.

W(s) = A(s)/B(s) являє собою дробово-раціональну функцію, де A(s) = 10, B(s) = . B'(s) = 0,75s² - 1.

Ступінь полінома чисельника менше ступеня полінома знаменника.

Корені рівняння В(s)=0: s₁=0; s₂= -2; s₃=2  прості.

А(0) = 10, А(-3) = 10, А(3) = 10, B'(0) = -1,  B'(-2) = B'(2) = 2.

За теоремою розкладу:

Передавальна функція W(s) та часові функції системи – перехідна характеристика h(t) та імпульсна перехідна функції w(t) пов'язані між собою:

L{h(t)} = W(s)/s. (1.17)

L{w(t)} = W(s). (1.18)

w(t) = L^-1{W(s)}. (1.19)

h(t) = L^-1 {W(s)/s}. (1.20)

Приклад 4. Знайти вираз для перехідної функції системи, що описана передавальною функцією

.

Відповідно до (1.20):

W(s) = A(s)/B(s) являє собою дробово-раціональну функцію. Ступінь полінома чисельника менше ступеня полінома знаменника.

A(s) = 2s+1, B(s) = , B'(s) = .

Корені рівняння В(s)=0: s₁=0; s₂= -3; s₃=3  прості.

А(0) = 1, А(-3) = -5, А(3) = 7, B'(0) = -4.5,  B'(-3) = B'(3) = 9.

За теоремою розкладу:

Приклад 5. Знайти передавальну функцію системи, якщо відома її імпульсна перехідна функція .

Відповідно до (1.18) передавальна функція системи:

.

Завдання до теми

1. Записати диференціальні рівняння в операторній та операційній формах

а) ;

б) ;

в) .

2. Користуючись теоремою розкладу, знайти оригінал функції:

а) ;

б) ;

в) .

3. Знайти вираз для перехідної функції системи, що описана передавальною функцією:

а) ;

б) ;

в) .

4. Знайти передавальну функцію системи, якщо відомі її часові функції

а) ;

б) ;

в) .

Контрольні питання

1. Що називається математичним описом САК?

2. Що означає символічна форма запису диференціального рівняння?

3. У чому сутність перетворення Лапласа?

4. Що називається передавальною функцією за Лапласом?

5. Що означає операційна форма запису диференціального рівняння?

6. Запишіть основні властивості перетворення Лапласа.

7. Для чого використовується теорема розкладу?

8. Як пов’язані між собою передавальна та часові функції САК?

Література: [2, с. 21-29].