МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

КРЕМЕНЧУЦЬКИЙ Національний УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ михайла остроградського

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОМЕХАНІКИ, ЕНЕРГОЗБЕРЕЖЕННЯ І систем управління

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО практичних занять

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ

“математичні основи цифрових систем керування”

ДЛЯ СТУДЕНТІВ денної та заочної ФОРМ НАВЧАННЯ

за напрямом

6.050201 – “Системна інженерія”

(у тому числі скорочений термін навчання)

КРЕМЕНЧУК 2011

Методичні вказівки щодо виконання практичних робіт з навчальної дисципліни “Математичні основи цифрових систем керування” для студентів денної та заочної форм навчання за напрямом 6.050201 – “Системна інженерія” (у тому числі скорочений термін навчання)

Укладач: асист. Г. О. Гаврилець

Рецензент к.т.н., доц. А. Л. Перекрест

Кафедра систем автоматичного управління та електропривода

Затверджено методичною радою Кременчуцького національного університету

імені Михайла Остроградського

Протокол №____ від__________

Заступник голови методичної ради______________ доц. С. А. Сергієнко

ЗМІСТ

Вступ 4

Перелік практичних робіт 5

Практична робота № 1 Основи аналізу безперервних САК 5

Практична робота № 2 Математичний опис цифрових систем керування. Решітчасті функції та різницеві рівняння 13

Практична робота № 3 Математичний апарат z-перетворення 19

Практична робота № 4 Основи аналізу дискретних САК 28

Список літератури 32

ВСТУП

Дисципліна “Математичні основи цифрових систем керування” вивчає питання, що стосуються математичного опису систем автоматичного керування.

Метою вивчення дисципліни є засвоєння принципів перетворення та обробки сигналів; вивчення математичного апарату для дослідження безперервних і дискретних систем; основ моделювання систем керування.

Дисципліна “Математичні основи цифрових систем керування” є підґрунтям дисциплін, що вивчають загальні та прикладні питання автоматичного керування технологічними об’єктами.

Метою виконання практичних робіт є закріплення студентами теоретичних знань і отримання практичних навичок при дослідженні та моделюванні систем керування у пакетах прикладних програм, а також для подальшого вивчення дисциплін напряму підготовки “Системна інженерія”: теорії автоматичного керування; комп’ютеризованих систем керування; методів оптимізації керуючих алгоритмів; основ збору, передачі й обробки інформації; математичного моделювання процесів та систем.

Методичні вказівки містять короткі теоретичні відомості, порядок виконання роботи, приклади з коментарями, вимоги щодо оформлення, контрольні запитання та посилання на літературу.

Перелік практичних робіт Практична робота № 1

Тема. Основи аналізу безперервних САК

Мета: навчитись записувати диференційні рівняння САК в операторній та операційній формах, записувати передавальні функції та знаходити вирази для перехідних та імпульсних перехідних характеристик САК.

Короткі теоретичні відомості

На певному етапі аналізу та синтезу САК отримують її математичний опис за допомогою рівнянь, графіків, структурних схем, графів, таблиць. Причому, для опису всієї системи в цілому спочатку звичайно складають опис її окремих елементів. Так, для отримання рівнянь системи складають рівняння для кожного її елемента. Сукупність цих рівнянь називають математичною моделлю САК.

У більшості випадків безперервні САК описуються диференціальними рівняннями n-го порядку, які можуть бути записані у вигляді:

(1.1)

Реальні САК мають математичні моделі у вигляді складних диференціальних рівнянь, вирішення яких в загальному вигляді в більшості випадків неможливе.

При складанні математичних моделей САК широко використовують символічну форму запису лінійних диференціальних рівнянь. Для цього вводять позначення p для операції диференціювання, тобто d/dt  p; dⁱ/dtⁱ  pⁱ.

З урахуванням цього рівняння (1.1) набуде вигляду:

a_n pⁿ y(t) + a_n-1 p^n-1y(t) + … +a₁py(t) + a₀y(t) =

= b_m p^mx(t)+ b_m-1 p^m-1x(t)+ … +b₁px(t)+ b₀x(t). (1.2)

Винесемо x(t) і y(t) за дужки:

(a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀)y(t) =

= (b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀)x(t). (1.3)

Ліва частина рівності означає, що оператор (a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀) діє на сигнал y(t), а в правій частині оператор (b_mp^m+b_m-1p^m-1+…+b₁p+b₀) діє на сигнал x(t). Умовно розділивши обидві частини рівняння на (a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀), зв'язок входу і виходу можна записати у вигляді:

, (1.4)

де запис означає не множення, а дію складного оператора на сигнал . Інакше кажучи, формула (1.4) – символічний запис диференціального рівняння (1.1).

Функція називається передавальною функцією системи, що описана рівнянням (1.1). Вона повністю описує зв'язок між вхідним та вихідним сигналами за нульових початкових умов.

Стандартна форма запису лінійних диференціальних рівнянь, передбачає що члени, які містять вихідну величину та її похідні, записують у лівій частині рівняння, а решту членів  у правій частині. Коефіцієнт при вихідній величині y(t) повинен бути рівним одиниці.

Приклад 1. Записати диференціальне рівняння у символічній формі.

Запишемо дане рівняння в стандартній формі:

Виконаємо заміну:

, .

Запишемо рівняння в операторній формі:

Винесемо за дужки:

Тоді у символічній формі запису рівняння має вид:

,

де передавальна функція:

.

Для розв’язку складних диференціальних рівнянь використовують спеціальні методи, серед яких найбільш поширеним є метод перетворення Лапласа. Він заснований на заміні функцій часу їх зображеннями.

Перетворенням Лапласа називається співвідношення, що ставить у відповідність функції x(t) дійсної змінної t функцію X(s) комплексної змінної s (s =  + j):

(1.5)

При цьому x(t) називають оригіналом, а X(s) – зображенням по Лапласу.

Зворотним перетворенням Лапласа називається співвідношення, що дозволяє за відомим зображенням функції знаходити її оригінал:

(1.6)

У літературі також зустрічається символічний запис:

X(s)=L{x(t)}, (1.7)

x(t) = L^-1{X(s)}, (1.8)

де L – прямий оператор Лапласа, L^-1  зворотний оператор Лапласа.

Рівняння (1.1) може бути записано також в операційній формі, якщо до лівої та правої частин застосувати перетворення Лапласа:

(1.9)

(1.10)

Зовні рівняння (1.3) та (1.10) схожі, але вони принципово відрізняються одне від одного, оскільки в першому буква p позначає оператор диференціювання d/dt , а змінні x(t) та y(t) є реальними функціями часу. Тобто рівняння залишається диференціальним. Рівняння (1.10)  алгебраїчне. У ньому буква s позначає комплексну змінну, а величини X(s) і Y(s) є зображеннями фізичних величин x(t) та y(t).

Передавальною функцією за Лапласом W(s) називається відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини за нульових початкових умов:

(1.11)

Тоді рівняння (1.10) можна записати в операційній формі:

Y(s) = W(s)X(s). (1.12)

Приклад 2. Записати диференціальне рівняння в операційній формі.

Застосуємо до лівої і правої частин перетворення Лапласа:

Винесемо за дужки:

Тоді у символічній формі запису рівняння має вид:

,

де передавальна функція за Лапласом:

.

Основні властивості перетворення Лапласа:

1. Лінійність. Для будь-яких постійних  і  справедливо:

L{x₁(t) +x₂(t)} = L{x₁(t) + L{x₂(t)}. (1.9)

2. Диференціювання оригіналу. Із урахуванням нульових початкових умов x(0) = x'(0) = x''(0) = ….= 0:

(1.10)

3. Інтегрування оригіналу. Інтегруванню оригіналу відповідає ділення зображення на s:

(1.11)

4. Теорема запізнення. Для будь-якого додатного числа :

(1.12)

5. Теорема згортки (теорема множення зображень).

(1.13)

Інтеграл у правій частині рівняння називають згорткою функцій x₁(t) і x₂(t) і позначають x₁(t) x₂(t), тобто

L{x₁ (t)  x₂ (t)} = X₁(s)X₂(s). (1.14)