Тема 5. Уравнения Лагранжа и Клеро Уравнение Лагранжа

Уравнение вида у = х·φ(у') + ψ(у') (15)

где φ и ψ известные функции от у' = называется уравнением Лагранжа.

Обозначим у' = р.

Тогда уравнение примет вид у = х·φ(р) + ψ(р). (16)

Дифференцируя по х, получим: р=φ(р)+(хφ′(р)+ φ′(р)) , откуда

т.е. р–φ(р) = хφ′(р)+ φ′(р) (17) – линейное уравнение относительно х = х(р).

Его решение х = λ(р;с). (18)

Исключая параметр р из уравнений (16) и (18), получаем общий интеграл уравнения (15) в виде у = φ(х; с).

Переходя к уравнению (17), мы делили на . При этом могли быть потеряны решения, для которых = 0, т. е. р = р_о = соnst.. Это значение р_о является корнем уравнения р—φ(р) = 0 (17).

Решение у = х·φ(р_о)+ψ(р_о) является особым для уравнения (15).

Уравнение Клеро

Частный случай уравнения Лагранжа при φ(у') = у'.

у = х·у' + ψ(у') - уравнение Клеро (19).

Приняв у' = р, получаем: у = хр + ψ(р) (20)

Дифференцируя по х, имеем

р = р + х· + ψ'(р)· или (х + ψ'(р))· = 0

Если = 0, то р = с. Поэтому, с учетом (30), ДУ (19) имеет общее решение

у = хс + ψ(с) (21)

Если х = – ψ'(р), у = хр + ψ(р) (22).

Это решение особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в формуле общего решения уравнения.

Пример. Решить уравнение Клеро у = ху' + у'².

Решение: Общее решение, согласно формуле (21), имеет вид у = = сх + с². Особое решение уравнения получаем согласно формулам (22) в виде х = –2р, у = хр+р² . Отсюда следует: , т.е.

Практическое занятие

Тема 5. Уравнения Лагранжа и Клеро Решение дифференциальных уравнений

1. Решить уравнение Клеро а) у = ху' + у'² б) у = ху′ + у′ – (у′)². в) у = ху′ — 3(у′)³.

2. Решить уравнение Лагранжа: а) у = х(1 + у′) + (у′)².

3. Решить уравнение методом Лагранжа;

1. 3. 5. 7. 9.

2. 4. 6. 8. 10.

4. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через сколько времени останется 1% от его первоначального количества, если скорость распада радия пропорциональна его количеству в рассматриваемый момент?

4. Автомобиль движется прямолинейно со скоростью 30 м/с. За какое время и на каком расстоянии он будет остановлен тормозами, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,3 его веса (g = 10 м/с²)?

4. Тело массы m падает вертикально вниз под действием силы тяжести и тормозящей силы сопротивления воздуха, пропорциональной скорости (коэффициент пропорциональности). Найти закон изменения скорости v падения тела, если в момент времени t = t₀;

5. v = v₀ = 0.

4. Тело движется прямолинейно с ускорением, пропорциональным произведению скорости движения v на время t. Установить зависимость между скоростью и временем, если при t=0 v=v₀.

4. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут понижается от 100⁰ до 60⁰. Температура воздуха 20⁰. Через сколько времени от начала охлаждения температура хлеба будет равна 30⁰ (Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур).