Тема 4. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Уравнение Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 (12) - уравнение в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал функции U(х;у) т.е. Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = du(х;у).

В этом случае ДУ (12) можно записать в виде du(х;у) = 0,

а его общий интеграл будет: U(х;у) = с. (13)

Δ = Р(х;у)·dx + Q(х;у) – полный дифференциал, если Р(х;у) и Q(х;у) - функции и и их частные производные, то (14).

Функция U(х, у) может быть найдена из системы уравнений:

Или по формуле:

где (х_о, у_о) некоторая фиксированная точка из области непрерывности функций Р(х, у), Q(х, у) и их частных производных.

Пример 5. Решить уравнение

Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:

(2ху–5)·dx+ (3у²+х²)·dy=0

Здесь Р(х;у) = 2ху – 5, Q(х;у) = 3у² + х². Проверяем выполнение условия (14):

=2х; =2х; =

Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Отсюда имеем du(х;у).= ∫ (2ху–5)·dx = х²у–5х+φ(у);

( х²у–5х+φ(у))′_у= х²+φ′(у). 3у²+х² = х²+φ′(у), φ′(у) = 3у², φ(у) = у³ + с₁, du(х;у) = х²у–5х+у³+с₁. Общим интегралом является х²у–5х+ у³ + с₁=с₂, или х²у–5х+ у³ = с, где с = с₂ – с₁.

Замечание. Если условие (14) не выполняется для уравнения (12), то в ряде случаев его можно свести к уравнению в полных дифференциалах умножением на некоторую функцию t(х, у) = t, - интегрирующий множитель, который. находится в двух случаях: если t = t(х) или t = t(у);

в первом случае , зависящее только от х.

во втором , зависящее только от у.

Пример. Решить уравнение (х² – у) ·dх + (х²у² + х) ·dу = 0.

Решение. Здесь

Однако зависит от х.

Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от х, выражение которого может быть получено при помощи формулы (24). В нашем случае получим, что