Уравнение я. Бернулли
Уравнение вида Р(х;у)·dx + Q(х;у)·dу = 0 (10)
называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.
Если n = 0, то ДУ (10) — линейное, а при n=1 с разделяющимися переменными.
В общем случае, разделив уравнение (15) на уn≠0, получим
у'·у–n + р(х)· у–n+1 = q(х) (11)
Обозначим у-n+1
=
z. Тогда z
′=
=(1
– n)·у'·у–n.
Отсюда находим
у'·у–n
=
.
Уравнение (11)
принимает вид
Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его известно. Таким образом, подстановка z = у-n+1 сводит уравнение (10) к линейному. На практике ДУ (10) удобнее искать методом И. Бернулли в виде у = u·v (не сводя его к линейному).
Практическое занятие
Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. |
Проинтегрировать уравнение а) у' + 2х·у = 2х; б)
ху' - 4·у
= х2√у
; в) у'
+ tgх·у =
Решить уравнение методом Лагранжа;
Найти кривую. проходящую через точку Р(1;0) и такую, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.
Решить дифференциальные уравнения:
Найти частное решение дифференциального уравнения:
Найти кривую, проходящую через точку О(0,0), зная, что угловой коэффициент в любой ее точке равен сумме координат этой точки.
Материальная точка массой m погружается с нулевой начальной скоростью в жидкость. На нее действует сила тяжести и сила сопротивления жидкости, пропорциональная скорости погружения (коэффициент пропорциональности k). Найти зависимость скорости движения точки от времени.
Найти кривую, проходящую через точку А(1, 2), касательная к которой в произвольной ее точке отсекает на оси ординат отрезок, равный квадрату ординаты точки касания. |
;
г) у'
=
