Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным,

если его можно записать в виде: у' + р(х)·у = q(х) (6)

где р(х) и q(х) – заданные функции, в частности – постоянные.

Особенность ДУ (6): искомая функция у и ее производная у' входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Методы решения:

Метод и. Бернулли

Решение с помощью подстановки у = u·v, где u = u(х) и v = v(х) — неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна нулю)

у(х) = ,

где v(х) ≠ 0. Тогда у' = u'·v + v'·u. Подставляя выражения у и у' в уравнение (6), получаем:

u'·v + u·(v' + р(х)·v) = q(х) (7)

Подберем функцию v = v(х) так,чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим ДУ v' + р(х)·v = 0. Т.о. + р(х)·v = 0, т. е. = – р(х)·dx.

Интегрируя, получаем:

Ввиду свободы выбора функции v(х), можно принять с = 1.

Отсюда

Подставляя найденную функцию v в уравнение (7), получаем

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его решение:

, ;

Возвращаясь к переменной у, получаем решение исходного ДУ.

(8)

Пример 1. Проинтегрировать уравнение у' + 2х·у = 2х.

Решение: Пусть у = u·v. Тогда u'·v + v'·u = 2х· u·v = 2х, т.е. u'·v + u(v' + 2х·v) = 2х.

Сначала решаем уравнение v' + 2х·v = 0:

,

Теперь решаем уравнение т.е. , , . Общее решение данного уравнения - т.е.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение у'р(х)·у=0. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

и

Таким образом, , т.е. или ,

где с = с₁

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем с = с(х). Решение уравнения (6) ищем в виде (9)

Находим производную:

Подставляем значения у и у' в уравнение (6):

+

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид:

Следовательно

Интегрируя, находим

Подставляя выражение с(х) в равенство (9), получим общее решение ДУ (6):

Естественно, что та же формула была получена методом Бернулли.

Пример 2. Решить у' + 2х·у = 2х методом Лагранжа.

Решение. Решим уравнение у' + 2х·у = 0. Имеем = –2х·dх, или у = с· . Заменяем с на с(х), т.е. решение ДУ ищем в виде у=с(х) · .

(1- ее решение данного уравнения: ому уравнению000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Имеем .

Тогда: , т.е. или или . Поэтому или - общее решение данного уравнения.

Замечание. Уравнение вида (х·Р(у) + Q(у))·у´ = R(у), где Р(у), Q(у), R(у)≠0 – заданные функции, можно привести к линейному, если х считать функцией, а у – аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством у´_х=1/х´, получаем , т.е. - линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде х = u·v, где u = u(у), v = v(у) – две неизвестные функции.

Пример 3. Найти общее решение уравнения (х + у) · у' = 1.

Решение: Учитывая, что у´_х=1/х´, от исходного уравнения переходим к линейному уравнению х´=х+у. Применим подстановку х = u·v. Тогда х´ = u´·v + u·v´. Получаем: u´·v + u·v´ = u·v + у, или u´·v + u·(v´– v) = у.

Находим функцию v: v´– v = 0; v = е^у.

Находим функцию u: u´·е^у +u·0 = у, т.е. u´ = у·е^–у, или . Интегрируя по частям, находим u = – у· е^–у – е^–у + с.

Значит, общее решение данного уравнения: х=u·v=(– у· е^–у – е^–у +с) ·е^у.