Тема 2. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Функция f(х; у) называется однородной функцией n-го порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель α вся функция умножится на αn, т. е. f(α·х;α·у)= αn f(х;у).
Например, функция f(х;у) = х2 – 2ху - однородная функция второго порядка,
т.к. f(α·х;α·у) = (α·х)2 – 2 (α·х)(α·у) = α2·(х2-2ху) = α2 f(х;у).
Дифференциальное
уравнение у'
= f(х;у) =
(3)
называется
однородным, если,
входящие в него функции
Р(х; у) и Q(х;у) -
однородные функции одного порядка.
Однородное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
или,
что то же самое
(4)
Подставив у
= u·x и у′
= u′x + u в
уравнение (3) получаем. уравнение с
разделяющимися переменными. Найдя его
общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем u
на
.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Р(х; у)·dx+ Q(х;у)·dy = 0 (5)
Применяем подстановку у = u·x и dy = х·du+u·dx и действуем, как в предыдущем случае.
(Можно также
применять подстановку
=
u)
Замечание:
уравнение
виде у′ =
приводится к однородному с помощью
замен
х = u+α; у = v+β, где α и β – числа, которые подбирают соответствующим образом, чтобы уравнение стало однородным, для упрощения вычисления.
Пример: Найти общий интеграл уравнения: (х2–у2)·dx+2ху·dy=0.
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х; у) = х2 – у2 и
Q (х; у) = 2ху — однородные функции второго порядка.
Пусть у = u·x и dy = х·du+u·dx. Подставляем в исходное уравнение:
последнее уравнение – с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем. Затем заменяя u на у/х, получаем: х2 + у2 = сх общий интеграл исходного уравнения.
Пример. Найти общий интеграл уравнения (х + 2у + 1)·dx ‒ (2х + у ‒ 1)·dy=0. т.е.
Решение: Положив х = u + α, у = v + β, получаем:
Подберем α и β так, чтобы
Находим, что α = 1,
β = ‒1. Заданное уравнение примет вид
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v = t·u. Заметим, что, решив его, следует заменить u и v соответственно на х ‒ 1 и у + 1. В итоге получим (у ‒ х +2)3 = с(х+у) - общий интеграл данного уравнения.
Практическое занятие
Тема 2. Однородные дифференциальные уравнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
Найти общий
интеграл уравнения
Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения:
Привести дифференциальное уравнение к однородному:
(у+2)dх
(2х+у+6)dу=0;
Решить уравнение, сведя его к однородному:
(2х2)dу
= (х+2у З)dх;
Решить уравнения:
Найти семейство линий, касательные к которым отсекают от оси абсцисс отрезки, равные ординате точки касания.
Найти кривую. проходящую через точку А(1; 1), у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.
Найти кривую, проходящую через точку А(1,0), если известно, что треугольник, образованный осью ординат, касательной к кривой в произвольной ее точке и радиус-вектором 1 очки касания, равнобедренный; основанием его является отрезок касательной от точки касания до оси ординат.
Найти кривую, проходящую через точку А(1, 2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равен абсциссе точки касания. |
;
;
.
