Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения
вида
или, короче,
будем искать в виде
,
где
.
Т.к.
то
При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
т.е.
Т.к.
,
то
- это уравнение называется характеристическим
уравнением.
Как и любое алгебраическое уравнение
степени
,
характеристическое уравнение
имеет
корней. Каждому корню характеристического
уравнения
соответствует решение дифференциального
уравнения.
В зависимости от коэффициентов
характеристическое уравнение может
иметь либо
различных действительных корней, либо
среди действительных корней могут быть
кратные корни, могут быть комплексно –
сопряженные корни, как различные, так
и кратные.
Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.
2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:
a) каждому действительному
корню соответствует решение
;
б) каждому действительному корню
кратности
ставится в соответствие
решений:
в) каждой паре комплексно – сопряженных
корней
характеристического уравнение ставится
в соответствие два решения:
и
.
г) каждой паре m –
кратных комплексно – сопряженных корней
характеристического уравнения ставится
в соответствие
решений:
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример
а)
Для составления характеристического
уравнения:
Характеристическое уравнение:
Корни:
Общее решение:
б)
Характеристическое уравнение:
Корни:
Общее решение:
в)
Характеристическое уравнение:
Корни:
Общее решение:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида
С учетом обозначения
можно записать:
При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале (конечном или бесконечном).
Теорема. Общее решение линейного
неоднородного дифференциального
уравнения
в
некоторой области есть сумма любого
его решения и общего решения соответствующего
линейного однородного дифференциального
уравнения.
Уравнения с правой частью специального вида.
Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Здесь
и
– многочлены степени
и
соответственно.
Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
где число
показывает сколько раз число
является корнем характеристического
уравнения для соответствующего
однородного уравнения, а
и
– многочлены степени не выше
,
где
-
большая из степеней
и
.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.
Т.е. если уравнение имеет вид:
,
то частное решение этого уравнения
будет
где
и
– частные решения вспомогательных
уравнений
и
Пример
1) Однородное уравнение
2)
,
,
Уравнение:
,
Общее решение неоднородного уравнения:
Ряды.
Основные определения.
Определение. Сумма членов
бесконечной числовой последовательности
называется числовым рядом.
При этом числа
будем называть членами ряда, а
– общим членом ряда.
Определение. Суммы
,
называются частными (частичными)
суммами ряда.
Таким образом, возможно рассматривать
последовательности частичных сумм ряда
Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Необходимый признак сходимости числовых рядов
Если ряд
сходится , то его
-ый
член
при неограниченном возрастании номера
стремится к нулю, т.е.
.
Однако, это условие не является
достаточным. Можно говорить только о
том, что если общий член не стремится к
нулю, то ряд точно расходится. Например,
так называемый гармонический ряд
является расходящимся, хотя его общий
член и стремится к нулю.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда
и
при
.
Теорема. (первый признак
сравнения) Если
при любом
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. (второй или предельный
признак сравнения) Если
и существует конечный предел
,
где h – число, отличное
от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
Если существует предел
,
то при < 1 ряд
сходится, а при >
1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если существует предел
,
то при <1 ряд
сходится, а при >1
ряд расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Интегральный признак Коши.
Если
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
,
то ряд
и несобственный интеграл
одинаковы в смысле сходимости.
Пример. Исследовать ряд на сходимость.
1)Необходимый признак:
ряд
сравнения сходится по признаку Даламбера,
исходный ряд сходится по признаку
сравнения.
Пример. Исследовать ряд на сходимость.
Функциональные ряды.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от , то ряд называется функциональным.
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной , при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости.
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Частными
(частичными) суммами функционального
ряда
называются функции
Определение. Функциональный
ряд
называется
сходящимся в точке
,
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм. Предел последовательности
называется суммой ряда
в точке
.
Определение. Совокупность всех значений , для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Теоремы Абеля.
Теорема. Если степенной ряд
сходится при
,
то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Пример. Найти область сходимости функционального ряда
По признаку Даламбера положительный
ряд сходится, если
-1<x-3<1
2<x<4
