Задание 2

Найти равновесное состояние системы. Для этого положить и из (1) найти установившуюся скорость .

Состояние системы будет равновесным, если все параметры состояния имеют равные значения для любых областей системы, не изменяющиеся с течением времени, т.е. сохраняющиеся бесконечно долго при неизменных внешних воздействиях.

Приведем систему в равновесное состояние, для этого приведем исходную систему к виду:

(10)

Решив систему, получим значения угловой скорости и управляющего воздействия.

Равновесное состояние системы: ₀ = 25.25, .

Рисунок 1- Графическое решение уравнения (10)

Точки пересечения графиков движущего момента и момента сил сопротивления дают графическое решение уравнения стационарного режима при заданной нагрузке и заданном управляющем воздействии.

На графике равновесное состояние при µ=0,5 выделено сплошной черной линией.

Задание 3

Численно решить систему (1), (2) при начальных условиях (3) и полученных выражениях , . Решение вести до установления значений  и .

Дана система из двух дифференциальных уравнений первого и второго порядка и соответственно.

Приводим систему (1) из двух уравнений к системе канонического вида, для этого делаем замену z= , в результате получим каноническую СДУ из трех уравнений первого порядка:

(11)

Подставим значения J=0.07, a0=0.81 ,a1=0.9 в полученные выражения , , получим систему вида:

Построим графики по полученным результатам.

Из приведенных ниже графиков видно, что ₀ и ₀ пришли к устоявшимся значениям при ₀ = 25.25 и ₀ = 0,5.

Рисунок 2 – График функции w(t)

Рисунок 3 – График функции µ(t)

2 Линеаризация системы задание 4

Линеаризовать систему в окрестности точки равновесии и численно решить ее.

При исследовании систем управления сложными объектами с нелинейными характеристиками часто применяют прием линеаризации, т.е. замены исходной системы уравнений более простой, содержащей в правых частях только линейные функции.

Линеаризация – один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.

Ряд Тейлора  – разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Для того чтобы линеаризовать систему необходимо вывести ее из равновесного состояния придав небольшое возмущение Линеаризацию проводим в окрестности точки ₀ = 25.25 и ₀ = 0,5. Выведем систему из равновесия, введя возмущение ∆u=0.5, отсюда получаем следующие выражения:

(12)

Подставим полученные выражения в систему (11):

Разложение системы в ряд Тейлора происходим по следующей формуле:

(13)

Если функция с двумя переменными, то берется произведение от каждой переменной.

Находим производные первого порядка:

+0

Разложим правые части полученной системы в ряд Тейлора:

+ 0_Mc

В конце получается ноль, так как значения и так стремятся к нулю, а при возведении в квадрат получается еще более меньшее значение и не имеют смысла, поэтому остальные части отбрасываются.

В результате поучается линеаризованная система:

(14)

Рисунок 4 – График зависимости Δ от t

Рисунок 5 – График зависимости Δ от t