8. Как привести систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами?

Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:

INCLUDEPICTURE "http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/66/65994/65994_html_33aba68e.gif" \* MERGEFORMATINET

Приводим исходную систему к виду с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого, например первое уравнение запишем третьим, третье уравнение умножим на 2, вычтем второе и запишем на первом месте, а второе уравнение умножим на 2, вычтем первое и запишем на втором месте.

INCLUDEPICTURE "http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/66/65994/65994_html_me91b2a3.gif" \* MERGEFORMATINET

Коэффициенты, расположенные по диагонали и подчеркнутые, являются преобладающими по строке.

Составляем матрицы коэффициентов при неизвестных в левой части и свободных членов. 

INCLUDEPICTURE "http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/66/65994/65994_html_725a97d6.png" \* MERGEFORMATINET Получаем преобразованную систему.

Разделим для этого каждое уравнение на свой диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное.

INCLUDEPICTURE "http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/66/65994/65994_html_773cffa2.png" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/66/65994/65994_html_5be35727.gif" \* MERGEFORMATINET

9. В чем заключается суть метода Зейделя для решения систем уравнений?

. Возьмём систему:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/1/1/7111fdedb3f2bc8144cc632301d13ca7.png" \* MERGEFORMATINET

И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.

Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/f/c/ffc29ef04acd8c6bfaa2d246d09aa1ff.png" \* MERGEFORMATINET

Здесь в  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/6/3/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png" \* MERGEFORMATINET -м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/5/e/05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png" \* MERGEFORMATINET  , для  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/a/2/aa25859cb8605531ec149d9739933158.png" \* MERGEFORMATINET . Эта запись может быть представлена: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/8/4/f840827e0f20fffdc7e3a92aa61dc16a.png" \* MERGEFORMATINET где в принятых обозначениях  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/3/6/83607bf605faada608856441dcef58bb.png" \* MERGEFORMATINET  означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png" \* MERGEFORMATINET , а все остальные нули; тогда как матрицы  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/1/9/c1937716a596bf2c8bae0002440fadcd.png" \* MERGEFORMATINET  и  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/5/5/6/556bd012944599de5fbab04f819a118e.png" \* MERGEFORMATINET содержат верхнюю и нижнюю треугольные части  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/f/c/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png" \* MERGEFORMATINET , на главной диагонали которых нули. Итерационный процесс в методе Гаусса-Зейделя строится по формуле  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/6/b/86b0bf3aae4e36d1dc61fcb8b9a372ab.png" \* MERGEFORMATINET  после выбора соответствующего начального приближения  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/4/d/c4d72a6234cc21b05a7a34aecf750fcc.png" \* MERGEFORMATINET .

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/c/e/fcefad48a04f28cf345990557762b762.png" \* MERGEFORMATINET  используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/e/f/6ef8f9e86d3a87a0a8776a317f1b753a.png" \* MERGEFORMATINET

где  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/a/f/faff392248dab09ed011ea04b51d50f3.png" \* MERGEFORMATINET

Таким образом, i-тая компонента  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/f/3/6f3ec104936b341125c802538d2ed552.png" \* MERGEFORMATINET -го приближения вычисляется по формуле: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/9/c/89ce7374c507c67485a7ad36a780ed6b.png" \* MERGEFORMATINET

Достаточное условие сходимости метода: Пусть  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/b/8/0/b80b358e5d8c53362ba8f09cabe0a1f6.png" \* MERGEFORMATINET , где  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/f/3/df34646123829a74d073958cbf65f305.png" \* MERGEFORMATINET  – матрица, обратная к  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/2/6/8264f01ce182dc3eeda9abbbe4aea9ff.png" \* MERGEFORMATINET . Тогда при любом выборе начального приближения  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/b/8/db8d690e9618429e0be9f607bed71aac.png" \* MERGEFORMATINET :

• метод Гаусса-Зейделя сходится;

• скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/6/0/360df7f75e61a778c4640d0d005ac06a.png" \* MERGEFORMATINET ;

• верна оценка погрешности:  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/6/b/76b0a6c31df1518faf95b64f7d15aece.png" \* MERGEFORMATINET .

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c691dc52cc1ad756972d4629934d37fd.png" \* MERGEFORMATINET  в упрощённой форме имеет вид: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/9/a/e9a7443a088f682a7a866c0bf2848896.png" \* MERGEFORMATINET . Более точное условие окончания итерационного процесса имеет вид: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/a/a/2aa86b8feef1a7af4c57fa3a5481fdcf.png" \* MERGEFORMATINET .