Сравнительная характеристика методов:

Мы рассмотрели 3 метода решения систем уравнений. Сравнивая результаты решения, мы получим, что наиболее быстрым и точным был метод Гаусса. Сравнивая метод итераций и метод Зейделя, мы выясняем что метод Зейделя был менее быстрым (результат найден за 13 итераций) и менее точным (значение невязки составило

).

Контрольные вопросы

1. Какие вы знаете группы методов решения систем линейных уравнений? Существует два метода решений систем линейных уравнений: а)точный(прямой) метод; б)приближенный метод;

2. Какие методы относятся к прямым методам решения систем линейных уравнений?

а) метод Гауса; б) метод Крамера; в) метод Гауса-Жордана; г) матричный метод.

3. Какие методы относятся к приближенным методам решения систем линейных уравнений?

а) Метод Гауса-Зейделя; б) метод Якоби;

4. Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое уравнение системы в верное равенство.

5. В чем заключается суть метода Гаусса для решения систем линейных уравнений?

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица   называется основной матрицей системы,   — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число  , где  , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть   для любых  .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом   ( , где   — номер строки):

, где 

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

6. В чем заключается суть метода Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений?

В отличии от метода Гаусса, в методе Жордано-Гаусса применяют правила прямоугольника, когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В методе Гаусса направление поиска решения происходит по столбцам (преобразование к системе с треугольной матрицей). 

7. В чем заключается суть метода простой итерации для решения систем уравнений?

По своей сути, итерационный метод заключается в выполнении некоторого итерационного процесса до тех пор, пока решение системы уравнений не будет найдено с необходимой точностью. В свою очередь итерационный процесс на каждом своем шаге строит некоторое приближение искомого решения. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений следующего вида: INCLUDEPICTURE "http://cybern.ru/wp-content/uploads/2012/02/%D0%A1%D0%9B%D0%90%D0%A3-%D0%B2-%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%BC-%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B51.png" \* MERGEFORMATINET .

 Для того, чтобы построить итеративную процедуру метода Якоби, необходимо провести предварительное преобразование системы уравнений  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/9/c/e9c8a216f3d7156ee5469f94af04c91d.png" \* MERGEFORMATINET  к итерационному виду  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/9/e/e9edccdd875ed18ec08cd7e314a306e0.png" \* MERGEFORMATINET . Оно может быть осуществлено по одному из следующих правил:

• INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/a/c/7/ac75bf8dbfb44ddb10150265fa780ebf.png" \* MERGEFORMATINET

• INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/e/1/3e11c3f28d2dc751aba3737020929637.png" \* MERGEFORMATINET

• INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/0/9/909dd347fc07fb766b1b38e731c5bf64.png" \* MERGEFORMATINET

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули,  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/3/a/3/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png" \* MERGEFORMATINET  — единичная матрица. Тогда процедура нахождения решения имеет вид: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/d/c/2dc7c630bf09c99759235ea2f00fdf86.png" \* MERGEFORMATINET

Или в виде поэлементной формулы:

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/4/8/f48d1c134d8f1a4957516a0341e22aa7.png" \* MERGEFORMATINET ,где  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/c/e/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png" \* MERGEFORMATINET  счётчик итерации.

В отличие от метода Гаусса-Зейделя мы не можем заменять  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/0/2/c029bf0e28deb171e8eef8ef78db7799.png" \* MERGEFORMATINET на   INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/a/a/0aaf0b2dd813bf816604c97ef881a7d4.png" \* MERGEFORMATINET  в процессе итерационной процедуры, так как эти значения понадобятся для остальных вычислений. Это наиболее значимое различие между методом Якоби и методом Гаусса-Зейделя решения СЛАУ. Таким образом на каждой итерации придётся хранить оба вектора приближений: старый и новый.

Достаточное условие сходимости метода: Пусть  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/6/3/c639dc4af02586e8e2046b9e87fd2de6.png" \* MERGEFORMATINET . Тогда при любом выборе начального приближения  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/d/b/8/db8d690e9618429e0be9f607bed71aac.png" \* MERGEFORMATINET :

• метод сходится;

• скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/b/9/2b972ab195d3682d91e98d35a5fac4ff.png" \* MERGEFORMATINET ;

• верна оценка погрешности:  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/e/4/3/e43cb23dd39ed6c5238f560629639ac6.png" \* MERGEFORMATINET .

Условие окончания итерационного процесса при достижении точности  INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/c/6/9/c691dc52cc1ad756972d4629934d37fd.png" \* MERGEFORMATINET  в упрощённой форме имеет вид: INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/7/3/6/7360057890ff92d259c3b679300b8084.png" \* MERGEFORMATINET