Лабораторная работа № 5 Изучение тестов на обнаружение гетероскедастичности
Цель работы: ознакомление и получение практических навыков работы с тестами ранговой корреляции Спирмена, Гольдфельда-Квандта, Глейзера.
Теоретические основы.
Выполнение условий Гаусса-Маркова гарантирует получение с помощью метода наименьших квадратов (МНК) при выборе надлежащей спецификации оценок параметров, удовлетворяющих требованиям состоятельности, эффективности и несмещенности. Рассмотрим нарушение условия, касающегося постоянства дисперсии остатков (D(е)const). В этом случае применение МНК не гарантирует эффективность получаемых оценок параметров уравнения регрессии.
Эффект потери эффективности в особенности проявляется при относительно больших по отношению к зависимой переменной (у) значениях остатков. Для визуального выявления наличия непостоянства дисперсии целесообразно построить диаграмму зависимости остатков от переменной х, а для множественной регрессии зависимость остатков (е) от результативного показателя (у). Гетероскедастичность в уравнении регрессии может быть как по одной объясняющей переменной, так и по нескольким, поэтому важно ее выявление по всем переменным.
Основными причинами появления гетероскедастичности являются: неправильная функциональная спецификация модели, значительные ошибки в исходной информации, а также отсутствие в модели переменной, существенно влияющей на результативный показатель. Такой переменной при получении модели по выборке, полученной за большой временной интервал может быть время.
При наличии подозрений на наличие гетероскедастичности целесообразно воспользоваться тестами. Тест ранговой корреляции Спирмена используется при относительно больших выборках и предположении, что дисперсия остатков будет либо уменьшаться, либо увеличиваться по мере увеличения х.
Очевидно, в этом случае абсолютные значения остатков (е=(уi-ŷi)) и и значения объясняющей переменной (хi) будут коррелированы.
Тестирование целесообразно проводить в следующем порядке:
Упорядочить (по возрастанию или убыванию х) выборочные данные.
Построить уравнение регрессии и получить значения остатков (еi) для каждого х.
Вычислить ранги модулей остатков и найти разности между рангами независимой переменной (хi) и рангами модулей остатков
Вычислить коэффициент корреляции r (х, е) между рангами переменной (х) и рангами модулей остатков (еi).
r
(х, е) =1 – (6
,
где Di – разность между рангом (х) и рангом модуля (е);
n – объем выборки.
Вычислить
стандартизованную переменную r(х,е)·
и в предположении, что при больших n
указанная переменная имеет стандартное
нормальное распределение. Проверить
нулевую гипотезу Но:
r(х,е)·
=0.
Для этого необходимо воспользоваться
значением квантили стандартного
нормального распределения. Например,
для двустороннего критерия гипотеза
об отсутствии гетероскедастичности
будет отклонена, если при уровне
значимости α=0,05 r(х,е)·
>1,96.
Тест Гольдфельда-Квандта используется в случае относительно небольшого количества данных в предположении, что с увеличением х значения (еi) увеличиваются, а значит σ(еi) пропорционально значению независимой переменной х. Согласно этому тесту все данные упорядочиваются по мере увеличения х. После этого средняя часть выборки объема (с) отбрасывается. По освободившимся двум выборкам объема (n-с)/2 оцениваются отдельные регрессии. Если принятое предположение верно, то дисперсия остатков по последним (n-с)/2 значениям будет значимо больше дисперсии остатков по первым значениям.
При принятии допущения о нормальном распределении остатков отношение Fф=SSост2/SSост1 будет иметь F-распределение Фишера. При выполнении гипотезы об отсутствии гетероскедастичности значение Fф будет меньше критического ( Fкр).
Порядок тестирования:
Упорядочить исследуемые данные по мере роста переменной (х).
Разделить исходную выборку на три части (выборки). Исключить центральную часть объемом ориентировочно (1/4...1/3) объема первоначальной выборки, при этом необходимо, чтобы (n-с)/2>К, где К – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии.
Построить два уравнения регрессии (у1 и у2) по оставшимся частям (выборкам).
Найти значения сумм квадратов остатков (SSост) для каждого уравнения регрессии и по ним определить Fф=SS2/SS1. При этом необходимо, чтобы выполнялось условие SS2>SS1.
Используя F-распределение Фишера сравнить полученное значение Fф с критическим значением, соответствующим выбранному уровню значимости. При Fф>Fкр гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена.
Задание на работу.
1. Построить уравнение регрессии государственных расходов на образование в функции от валового внутреннего продукта (ВВП) по данным табл.1[7] и произвести тестирование на наличие гетероскедастичности, используя тесты ранговой корреляции Спирмена, Гольдфельда-Квандта. В предположении, что причиной наличия гетероскедастичности является неправильная спецификация модели. 2. В предположении, что причиной гетероскедастичности является ошибочная спецификация модели, учесть в модели численность населения, получив уравнение зависимости расходов на образование на одного человека в функции ВВП на одного человека. Произвести тестирование одним из тестов. 3. Произвести тестирование по индивидуальному заданию, используя оба теста и сделать выводы по всей работе.
Порядок выполнения работы:
Найти уравнение линейной регрессии.
Построить графики зависимости уi (хi), еi (хi), еi (уi) на основе визуального анализа выдвинуть гипотезу о наличии или отсутствии гетероскедастичности.
Провести тестирование по вышеуказанным тестам и дать анализ.
В отчете к лабораторной работе привести: исходные данные, графические зависимости уi (хi), еi (хi), еi (уi), расчетные таблицы при проведении тестирования, расчетные формулы и результаты анализа.
Таблица 1. Государственные расходы на образование (РО), валовой внутренний продукт (ВВП) и численность населения (ЧН) в выборке стран, 1980 г.
Таблица 1
Страна |
РО |
ВВП |
ЧН |
Люксембург |
0,34 |
5,67 |
0,36 |
Уругвай |
0,22 |
10,13 |
2,90 |
Сингапур |
0,32 |
11,34 |
2,39 |
Ирландия |
1,23 |
18,88 |
3,44 |
Израиль |
1,81 |
20,94 |
3,87 |
Венгрия |
1,02 |
22,16 |
10,71 |
Новая Зеландия |
1,27 |
23,83 |
3,10 |
Португалия |
1,07 |
24,67 |
9,93 |
Гонконг |
0,67 |
27,56 |
5,07 |
Чили |
1,25 |
27,57 |
11,10 |
Греция |
0,75 |
40,15 |
9,60 |
Финляндия |
2,80 |
51,62 |
4,78 |
Норвегия |
4,90 |
57,71 |
4,09 |
Югославия |
3,50 |
63,03 |
22,34 |
Дания |
4,45 |
66,32 |
5,12 |
Турция |
1,60 |
66,97 |
44,92 |
Австрия |
4,26 |
76,88 |
7,51 |
Швейцария |
5,31 |
101,65 |
6,37 |
Саудовская Аравия |
6,40 |
115,97 |
8,37 |
Бельгия |
7,15 |
119,49 |
9,86 |
Швеция |
11,22 |
124,15 |
8,31 |
Австралия |
8,66 |
140,98 |
14,62 |
Аргентина |
5,56 |
153,85 |
27,06 |
Нидерланды |
13,41 |
169,38 |
14,14 |
Мексика |
5,46 |
186,33 |
67,40 |
Испания |
4,79 |
211,78 |
37,43 |
Бразилия |
8,92 |
249,72 |
123,03 |
Канада |
18,90 |
261,41 |
23,94 |
Италия |
15,95 |
395,52 |
57,04 |
Великобритания |
29,90 |
534,97 |
55,95 |
Франция |
33,59 |
655,29 |
53,71 |
ФРГ |
38,62 |
815,00 |
61,56 |
Япония |
61,61 |
1040,45 |
116,78 |
США |
181,30 |
2586,40 |
227,64 |
Таблица 2. Исходная информация для индивидуального задания.
|
Вариант1 |
Вариант2 |
Вариант3 |
Вариант4 |
Вариант5 |
Вариант6 |
Вариант7 |
x |
y |
y |
y |
y |
y |
y |
y |
2 |
6,2954802 |
10,872768 |
11,59096 |
24,618305 |
10,99096 |
18,401389 |
8,8727683 |
3 |
11,03354 |
18,853664 |
20,56708 |
44,5609912 |
19,66708 |
6,63399607 |
15,853664 |
4 |
13,292276 |
22,867641 |
24,584552 |
52,6029237 |
23,384552 |
4,60502994 |
18,867641 |
5 |
6,5114292 |
12,418287 |
10,522858 |
17,2548601 |
9,0228584 |
21,7451659 |
7,4182867 |
6 |
13,5103 |
24,01648 |
24,0206 |
48,04944 |
22,2206 |
65,4566672 |
18,01648 |
7 |
37,414441 |
62,663106 |
71,328883 |
159,989319 |
69,228883 |
75,6138047 |
55,663106 |
8 |
31,46263 |
53,540208 |
58,92526 |
128,620624 |
56,52526 |
66,7110669 |
45,540208 |
9 |
44,955229 |
75,528367 |
85,410459 |
190,585101 |
82,710459 |
8,18448307 |
66,528367 |
10 |
25,489669 |
44,783471 |
45,979339 |
94,3504135 |
42,979339 |
43,7225599 |
34,783471 |
11 |
16,611286 |
30,978057 |
27,722571 |
48,9341716 |
24,422571 |
58,0446098 |
19,978057 |
12 |
68,656392 |
114,65023 |
131,31278 |
295,950682 |
127,71278 |
33,0313856 |
102,65023 |
13 |
57,345683 |
96,953093 |
108,19137 |
238,859279 |
104,29137 |
47,1724935 |
83,953093 |
14 |
42,703269 |
73,92523 |
78,406537 |
165,775689 |
74,206537 |
139,668665 |
59,92523 |
15 |
67,047029 |
113,27525 |
126,59406 |
279,825739 |
122,09406 |
103,442781 |
98,275246 |
16 |
21,034333 |
40,054933 |
34,068667 |
56,1648 |
29,268667 |
62,7429696 |
24,054933 |
17 |
95,727531 |
159,96405 |
182,95506 |
411,892148 |
177,85506 |
53,1985013 |
142,96405 |
18 |
20,579119 |
40,126591 |
32,158238 |
48,3797723 |
26,758238 |
228,883821 |
22,126591 |
19 |
50,868648 |
88,989837 |
92,237297 |
190,969512 |
86,537297 |
214,210478 |
69,989837 |
20 |
119,96948 |
199,95117 |
229,93896 |
519,853511 |
223,93896 |
178,778845 |
179,95117 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант8 |
Вариант9 |
Вариант10 |
Вариант11 |
Вариант12 |
Вариант13 |
Вариант14 |
Вариант15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
y |
y |
y |
y |
y |
y |
21,695639 |
24,869549 |
783,29121 |
1707,4736 |
981,86401 |
20,3408 |
26,1760002 |
36,3464 |
40,338206 |
45,922758 |
425,15201 |
925,91498 |
534,440016 |
22,902738 |
30,1284219 |
41,579791 |
20,88757 |
19,359462 |
40,302023 |
76,570038 |
53,6275292 |
62,278542 |
80,098178 |
111,23745 |
20,017823 |
16,022279 |
522,35548 |
1155,906 |
656,444349 |
59,150609 |
76,9382611 |
106,51357 |
52,025056 |
53,78132 |
242,96625 |
535,42405 |
307,457808 |
36,138035 |
48,922544 |
66,991562 |
127,43815 |
145,79769 |
506,39387 |
1136,4802 |
636,99234 |
91,12833 |
118,410413 |
163,97458 |
145,48622 |
166,10778 |
613,42879 |
1389,3565 |
771,035981 |
132,24247 |
170,553087 |
236,67432 |
132,37245 |
147,46556 |
141,86694 |
317,31938 |
181,833674 |
37,966735 |
53,4584185 |
72,441786 |
40,140049 |
29,925062 |
211,27436 |
481,39308 |
268,842952 |
64,240944 |
87,0511795 |
119,17165 |
99,460128 |
101,82516 |
516,34083 |
1198,1286 |
650,426038 |
175,44694 |
226,808679 |
314,53215 |
124,33824 |
130,6728 |
315,48732 |
736,76757 |
399,609149 |
123,46071 |
162,575884 |
224,30624 |
87,527451 |
82,409314 |
341,46934 |
806,23969 |
432,33668 |
150,62972 |
197,287149 |
272,60201 |
112,00027 |
110,75034 |
213,78433 |
508,91797 |
272,980407 |
263,74801 |
339,435011 |
471,30902 |
256,5439 |
289,17988 |
131,93554 |
316,92074 |
170,919431 |
216,42683 |
281,03354 |
389,24696 |
202,80511 |
219,75639 |
94,43968 |
229,62722 |
124,2996 |
62,663808 |
89,5797601 |
120,91166 |
143,10056 |
142,8757 |
163,55779 |
404,77868 |
210,947233 |
275,70519 |
356,631489 |
494,48408 |
131,14649 |
125,68311 |
98,8034 |
248,44115 |
130,25425 |
80,419904 |
113,27488 |
153,48483 |
396,86081 |
455,57601 |
243,50292 |
621,28016 |
311,37865 |
349,05014 |
449,812677 |
624,33775 |
376,15036 |
427,43796 |
42,839351 |
113,25166 |
60,7991882 |
47,807031 |
74,0087893 |
97,912305 |
324,99832 |
361,2479 |
111,32145 |
295,96881 |
146,651814 |
121,32145 |
166,651814 |
227,31254 |
Отчет должен содержать:
Теоретические основы и содержание тестов;
Результаты тестирования по данным табл.1;
Результаты тестирования по варианту выбранного задания.