Приведенная форма будет иметь вид
Y1= a11 ·X1 + a12 ·X2 (5)
Y2= a21 ·X1 + a22 ·X2
Число коэффициентов по модели (5) равно m n =2 ·2=4, по которым необходимо определить m(n-1+m) = 2(2-1+2)=2 ·3=6 коэффициентов. Очевидно, по 4-м коэффициентам определить 6 коэффициентов структурной формы модели можно не единственным способом. В этом случае модель (4) неидентифицируема. Однозначно определить коэффициенты структурной формы модели можно, лишь уменьшив число структурных коэффициентов, введя определенные допущения относительно некоторых из них. Так, если влияние некоторых объясняющих переменных незначительно, то можно принять коэффициенты при них равными 0. Например, b11=0; b22=0. При этих условиях в моделях (4) и (5) число коэффициентов равно и модель (4) считается идентифицируемой. Включив дополнительно, еще одно ограничение, например, b12 + b21=5 получим сверхидентифицируемую модель (4).
Модель (4) считается идентифицируемой, если каждое уравнение этой системы идентифицируемо. Наличие хотя бы одного неидентифицируемого уравнения делает всю модель неидентифицируемой.
Сверхидентифицируемая модель должна содержать хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Для оценки коэффициентов структурной модели необходимо, чтобы система была идентифицируемой или сверхидентифицируемой. Проверка на идентификацию производится по каждому уравнению и включает необходимое и достаточное условия.
Необходимое условие:
D + 1 = H – уравнение идентифицируемо;
D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо,
Где D – число экзогенных (предопределенных) переменных в системе, не входящих в i-е уравнение;
H – число эндогенных переменных в i–м уравнении.
Достаточное условие.
Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в данном уравнении переменным (экзогенным и эндогенным) можно из коэффициентов в других уравнениях получить матрицу с рангом не меньшим, чем число эндогенных переменных минус один, а определитель ее не равен 0.
Рассмотрим пример:
Y1 = 5.0·Y2 +10.3·Y3 + 17.2·X2 + 0.5·X3
Y2= 3.4·Y1 + 0.7·X2 + 50.0·X3 + 0.7·X4 (6)
Y3 = 0.2·Y1 + 7.1·Y2 + 2.1·X1 + 0.3·X3
Для первого уравнения Н=3 (y1, y2, y3); Д=2 (x1, x4 отсутствуют). Д+1=2+1=3=Н. Необходимое условие выполнено. Для проверки достаточного условия выпишем коэффициенты при отсутствующих в 1-м уравнении модели (6) переменных:
Уравнение 2 0·X1 +0,7·X4
У
0 0,7
2,1 0
Достаточное условие выполняется, т.к. определитель =1,470
Для второго уравнения Н=2; Д=1; Д+1=2=Н.
Необходимое условие выполнено.
Проверка достаточного условия
Уравнение 1 10,3·Y3+0·X1
Уравнение 2 -1·Y3+2,1·X1
10,3
0
-1 2,1
=21,630.
Достаточное условие выполнено.
Для третьего уравнения Н=3; Д=2; Д+1=3=Н
Необходимое условие выполнено.
Проверка достаточного условия:
Уравнение 1 17.2·X2+0·X4
Уравнение 2 0·X2 +0,7·X4
17,2
0
0 0,7
=12,040.
Достаточное условие выполнено.
Каждое уравнение и система в целом идентифицируема.
Для оценки параметров структурной модели используются:
Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
Трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);
Метод максимального правдоподобия.
КМНК используется для идентифицируемых моделей. ДМНК используется для сверхидентифицируемых моделей, а ТМНК – для обоих видов моделей.
Процедура КМНК включает выполнение следующих этапов:
Структурная модель преобразуется в приведенную форму модели;
Используя обычный МНК определяют коэффициенты приведенной формы для каждого уравнения;
Коэффициенты приведенной формы преобразуются в коэффициенты структурной формы модели.
Рассмотрим использование КМНК на простейшей модели
Y1=b01·
Y2
+ b11·
X1
Y2= b02·Y1+ b22 ·X2 (7)
Исходные данные для расчета даны в табл.1
Таблица 1.
Х 1 |
Х 2 |
Y1 |
Y2 |
1 |
1,2 |
3,2 |
3,2 |
2 |
1,4 |
4,9 |
5,3 |
3 |
1,6 |
6,1 |
7,7 |
4 |
1,8 |
8,0 |
10,0 |
5 |
2,0 |
8,9 |
11,7 |
6 |
2,2 |
10,5 |
14,1 |
Приведенная форма модели имеет вид
Y1 =A11·X1 + A12·X2
Y2= A21 ·X1 + A22 ·X2
По таблице 1 найдем коэффициенты приведенной формы модели, воспользовавшись «Пакетом анализа».
Y1= 1,0 ·X1 + 2,0·X2
Y2= 2,0· X1 + 1,0 · X2
Все коэффициенты модели значимо отличаются от 0.
Осуществим проверку на идентифицируемость.
В данном случае необходимое и достаточное условия для обоих уравнений выполняются, модель идентифицируема.
Преобразуем приведенную форму модели в структурную форму модели. Для этого из первого уравнения приведенной формы необходимо исключить X2 и добавить Y2, а из второго уравнения - X1 и добавить Y1.
Умножим 2-е уравнение на (-2) и сложим его с 1-м уравнением, тогда 1-е уравнение будет
Y1=1,0· X1 + 2,0·X2 + 2,0·Y2 - 4,0·X1 –2,0·X2
и после преобразования
Y1 = 2,0·Y2 – 3,0·X1
Аналогично получим 2-е уравнение структурной формы умножив первое уравнение приведенной формы на (-2) и сложив его с 1-м уравнением.
Y2= 2,0·X1 + 1,0· X2+2,0·Y1–2,0·X1- 4,0·X2
Y2 = 2,0·Y1 – 3,0·X2.
Окончательно структурная форма будет иметь вид:
Y1 = 2,0·Y2 – 3,0·X1
Y2 = 2,0·Y1 – 3,0·X2.
Задание по работе: по данным табл.2 получить параметры модели вида (7), используя КМНК
Таблица 2.Варианты заданий к лабораторной работе №8.
|
вариант1 |
вариант2 |
вариант3 |
вариант4 |
вариант5 |
вариант6 |
||||||
I |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
200,0 |
491,2 |
691,2 |
829,5 |
1029,5 |
842,1 |
1042,1 |
1217,6 |
1417,6 |
699,6 |
899,6 |
1150,2 |
1350,2 |
210,0 |
837,4 |
1047,4 |
1153,6 |
1363,6 |
1153,6 |
1003,1 |
1205,6 |
1368,2 |
793,1 |
1405,2 |
1052,5 |
1060,6 |
220,0 |
1302,5 |
1522,5 |
1146,6 |
1366,6 |
1146,6 |
1587,8 |
831,3 |
1110,8 |
1367,8 |
1075,0 |
1037,5 |
853,5 |
230,0 |
1078,0 |
1308,0 |
805,5 |
1035,5 |
805,5 |
1364,5 |
1012,0 |
1805,3 |
1134,5 |
1518,8 |
1049,4 |
1295,3 |
240,0 |
1273,1 |
1513,1 |
1268,1 |
1508,1 |
1268,1 |
1538,5 |
1000,2 |
1174,1 |
1298,5 |
1073,8 |
1103,0 |
1265,0 |
250,0 |
904,6 |
1154,6 |
904,9 |
1154,9 |
904,9 |
1576,8 |
1058,0 |
1206,2 |
1326,8 |
1232,2 |
1001,1 |
1315,2 |
260,0 |
1056,9 |
1316,9 |
1332,9 |
1592,9 |
1332,9 |
1473,2 |
1069,5 |
1313,6 |
1213,2 |
1481,6 |
1028,4 |
1628,4 |
270,0 |
1354,1 |
1624,1 |
1419,3 |
1689,3 |
1419,3 |
1235,0 |
1613,4 |
1391,8 |
965,0 |
1544,8 |
1034,5 |
1388,4 |
280,0 |
1330,9 |
1610,9 |
1047,2 |
1327,2 |
1047,2 |
1592,8 |
1361,7 |
1374,1 |
1312,8 |
1255,8 |
1138,9 |
1710,7 |
290,0 |
1310,9 |
1600,9 |
1293,7 |
1583,7 |
1293,7 |
1635,8 |
1259,8 |
1442,1 |
1345,8 |
1281,8 |
1282,5 |
1506,6 |
300,0 |
1532,0 |
1832,0 |
1207,6 |
1507,6 |
1207,6 |
1522,4 |
1180,8 |
1725,4 |
1222,4 |
1617,6 |
1174,9 |
1368,7 |
310,0 |
1180,2 |
1490,2 |
1473,3 |
1783,3 |
1473,3 |
1417,5 |
1254,4 |
1062,8 |
1107,5 |
1269,0 |
1682,8 |
1805,8 |
320,0 |
1360,6 |
1680,6 |
1553,9 |
1873,9 |
1553,9 |
1853,9 |
1219,1 |
1798,1 |
1533,9 |
1763,3 |
1478,7 |
1627,2 |
330,0 |
1463,9 |
1793,9 |
1344,2 |
1674,2 |
1344,2 |
1719,3 |
1559,2 |
1780,5 |
1389,3 |
1929,4 |
1490,1 |
1529,0 |
340,0 |
1503,1 |
1843,1 |
1472,5 |
1812,5 |
1472,5 |
1880,7 |
1419,2 |
1770,1 |
1540,7 |
1963,5 |
1425,4 |
1455,7 |
350,0 |
1170,7 |
1520,7 |
1179,4 |
1529,4 |
1179,4 |
2009,8 |
1575,5 |
1646,1 |
1659,8 |
2026,4 |
1271,9 |
1662,7 |
360,0 |
1839,7 |
2199,7 |
1699,0 |
2059,0 |
1699,0 |
1853,2 |
1500,7 |
1795,9 |
1493,2 |
1785,3 |
1644,2 |
1887,8 |
370,0 |
1484,9 |
1854,9 |
1331,3 |
1701,3 |
1331,3 |
2043,4 |
1861,1 |
1990,4 |
1673,4 |
1871,2 |
1414,1 |
1874,6 |
380,0 |
1414,1 |
1794,1 |
1783,5 |
2163,5 |
1783,5 |
1689,6 |
1382,3 |
1797,0 |
1309,6 |
1995,2 |
1601,4 |
1942,6 |
390,0 |
1712,2 |
2102,2 |
1673,5 |
2063,5 |
1673,5 |
1728,4 |
1552,5 |
1918,9 |
1338,4 |
1985,0 |
1608,4 |
1850,7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вариант7 |
вариант8 |
вариант9 |
вариант10 |
вариант11 |
вариант12 |
||||||
I |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
C |
Y |
200,0 |
952,1 |
1152,1 |
1245,0 |
1445,0 |
938,2 |
1138,2 |
1085,6 |
1285,6 |
792,5 |
992,5 |
1205,9 |
1405,9 |
210,0 |
1158,2 |
1368,2 |
754,6 |
964,6 |
1195,2 |
1405,2 |
1095,7 |
1305,7 |
850,6 |
1060,6 |
965,2 |
1175,2 |
220,0 |
890,8 |
1110,8 |
1186,3 |
1406,3 |
855,0 |
1075,0 |
1454,9 |
1674,9 |
633,5 |
853,5 |
883,3 |
1103,3 |
230,0 |
1575,3 |
1805,3 |
863,4 |
1093,4 |
1288,8 |
1518,8 |
1240,3 |
1470,3 |
1065,3 |
1295,3 |
1035,1 |
1265,1 |
240,0 |
934,1 |
1174,1 |
1270,6 |
1510,6 |
833,8 |
1073,8 |
939,9 |
1179,9 |
1025,0 |
1265,0 |
1283,4 |
1523,4 |
250,0 |
956,2 |
1206,2 |
1407,4 |
1657,4 |
982,2 |
1232,2 |
1513,0 |
1763,0 |
1065,2 |
1315,2 |
1046,2 |
1296,2 |
260,0 |
1053,6 |
1313,6 |
1061,7 |
1321,7 |
1221,6 |
1481,6 |
1209,3 |
1469,3 |
1368,4 |
1628,4 |
1142,3 |
1402,3 |
270,0 |
1121,8 |
1391,8 |
1303,4 |
1573,4 |
1274,8 |
1544,8 |
1094,9 |
1364,9 |
1118,4 |
1388,4 |
1059,0 |
1329,0 |
280,0 |
1094,1 |
1374,1 |
1501,4 |
1781,4 |
975,8 |
1255,8 |
566,5 |
846,5 |
1430,7 |
1710,7 |
1323,9 |
1603,9 |
290,0 |
1152,1 |
1442,1 |
1450,0 |
1740,0 |
991,8 |
1281,8 |
1055,7 |
1345,7 |
1216,6 |
1506,6 |
961,6 |
1251,6 |
300,0 |
1425,4 |
1725,4 |
1548,6 |
1848,6 |
1317,6 |
1617,6 |
1188,3 |
1488,3 |
1068,7 |
1368,7 |
1360,8 |
1660,8 |
310,0 |
752,8 |
1062,8 |
1031,4 |
1341,4 |
959,0 |
1269,0 |
1477,0 |
1787,0 |
1495,8 |
1805,8 |
1663,2 |
1973,2 |
320,0 |
1478,1 |
1798,1 |
1778,5 |
2098,5 |
1443,3 |
1763,3 |
1302,6 |
1622,6 |
1307,2 |
1627,2 |
1316,2 |
1636,2 |
330,0 |
1450,5 |
1780,5 |
1713,3 |
2043,3 |
1599,4 |
1929,4 |
1309,1 |
1639,1 |
1199,0 |
1529,0 |
1385,5 |
1715,5 |
340,0 |
1430,1 |
1770,1 |
1445,1 |
1785,1 |
1623,5 |
1963,5 |
1355,7 |
1695,7 |
1115,7 |
1455,7 |
1485,5 |
1825,5 |
350,0 |
1296,1 |
1646,1 |
1437,6 |
1787,6 |
1676,4 |
2026,4 |
1286,2 |
1636,2 |
1312,7 |
1662,7 |
1306,4 |
1656,4 |
360,0 |
1435,9 |
1795,9 |
1368,7 |
1728,7 |
1425,3 |
1785,3 |
1596,7 |
1956,7 |
1527,8 |
1887,8 |
1505,3 |
1865,3 |
370,0 |
1620,4 |
1990,4 |
1565,2 |
1935,2 |
1501,2 |
1871,2 |
1514,2 |
1884,2 |
1504,6 |
1874,6 |
1346,1 |
1716,1 |
380,0 |
1417,0 |
1797,0 |
1425,4 |
1805,4 |
1615,2 |
1995,2 |
1580,3 |
1960,3 |
1562,6 |
1942,6 |
1579,1 |
1959,1 |
390,0 |
1528,9 |
1918,9 |
1387,8 |
1777,8 |
1595,0 |
1985,0 |
1248,4 |
1638,4 |
1460,7 |
1850,7 |
1769,3 |
2159,3 |
Отчет должен содержать: результаты моделирования по варианту выбранного задания.
Приложения.