Лабораторная работа № 8

Системы одновременных уравнений. Идентификация. Косвенный метод наименьших квадратов.

Цель работы: Изучение методов построения моделей систем одновременных уравнений.

Теоретические основы.

Наиболее простые экономические процессы описываются линейным уравнением парной регрессии. Для описания более сложных закономерностей используется уравнение множественной регрессии, в которое можно ввести фиктивные переменные, а исходные данные при необходимости могут быть определенным образом преобразованы: то есть, произведена надлежащая спецификация модели. Теоретической основой создания модели являются разделы экономической теории. При этом спецификация модели отражает содержательную сторону изучаемых экономических процессов. Одной из особенностей социально - экономических процессов является их взаимозависимость, что неизбежно приводит к моделям, содержащим несколько уравнений, отражающих взаимозависимость входящих в них переменных в определенных моментах времени в развитии процессов – системам одновременных уравнений [1,3,5,7].

Например, модель спроса содержит два уравнения:

С_t =  + _t + U_t (1)

Y_t = C_t + Z_t (2)

Уравнение (1) определяет функцию спроса, а тождество (2) определяет совокупный доход.

В этой модели индекс t отражает момент времени, а переменные интерпретируются следующим образом:

С - потребительские расходы;

Y – доход;

Z – непотребительские расходы;

U – случайная компонента.

В этих уравнениях C является зависимой переменной, Z – независимая переменная, Y – зависимая переменная в уравнении 2 и объясняющая переменная в уравнении 1.

Модель, полученная исходя из теоретических предпосылок и отражающая внутренний механизм (структуру) взаимодействия переменных называется структурной формой модели.

Зависимые переменные называются эндогенными, количество которых равно числу уравнений, а независимые переменные – экзогенными. Классификация переменных на эндогенные и экзогенные достаточно условна, так как в одних уравнениях переменная выполняет роль объясняющей (экзогенной), а в других объясняемой (эндогенными).

Модель, заданная уравнениями (1), (2) может быть преобразована подстановкой (1) в (2), при этом получим:

Yt =  + Yt + Zt + Ut

Yt = ( + Zt + Ut) / (1 - ).

Из этого следует, что Yt зависит также от Ut.

Это означает, что не выполняется одно из условий Гаусса-Маркова; ковариация случайной компоненты и объясняющей переменной не равна 0.

В этом случае оценки МНК будут смешанными и несостоятельными.

Очевидно, эта модель может быть записана иным образом (приведенная форма модели):

Ct = bo + b1 ·x1 + b2· x2 + …+ bn ·xn + Ut (3)

Yt = a0 + a1· x1 + a2· x2 + …+ an· xn +Ut,

где xi – объясняющие (независимые) переменные.

При выполнении условий Гаусса-Маркова в модели МНК дает статистически наилучшие (эффективные, состоятельные и несмещенные) оценки коэффициентов ai, bi, однако, их интерпретация бывает затруднительна.

Представляется целесообразным по приведенной форме модели (3), используя обычный МНК получить коэффициенты уравнения, а затем преобразовать ее в структурную форму.

При переходе от приведенной формы модели к структурной форме существует так называемая проблема идентификации. Эта проблема заключается в отсутствии при некоторых условиях взаимной однозначности коэффициентов приведенной и структурной форм модели. Например, при n=2 эндогенных переменных и m=2 экзогенных переменных.

Модель для структурной формы:

Y1 = b02 ·Y2 + b11· X1 + b12 ·X2 (4)

Y2 = b01· Y1 + b21 ·X1 + b22 ·X2