3. Потери напора при равномерном движении жидкости

А. Ламинарный режим движения

1. Распределение местных скоростей. Расход. Средняя скорость

Цилиндрические трубы круглого сечения. Распределение местных ско­ростей. Рассмотрим равномерное ламинарное напорное движение в цилинд­рической трубе круглого поперечного сечения радиусом r_Q (рис. 7.6).

Движение - осесимметричное. Такое движение целесообразно рас­сматривать в системе координат (х, г), где ось ОХ направлена вдоль оси трубы, а г - радиус точки в нормальном к оси сечении.

После интегрирования:

и = -^-г²+С. 4v

Находим постоянную интегрирования С из условия «прилипания» жидкости к стенке. При г = г₀ скорость и = О, поэтому:

С

gJ

4v

Тогда для местной скорости в точке живого сечения, расположенной на расстоянии г от оси трубы, имеем:

(7.6)

и=Т^Ъ²-г²).

4v

Таким образом, при ламинарном движении жидкости в цилиндриче­ской трубе круглого сечения (напорный поток) распределение местных скоростей по радиусу имеет параболический характер (рис. 7.6). Плоская эпюра скорости — парабола.

Из (7.6) следует, что максимальная скорость имеет место на оси тру­бы, то есть при г = 0:

и

шах

&L

4v

(7.7)

Выразим местную скорость и через w_max:

и = и 1 -

max

Безразмерная местная скорость:

г \²

и

г

(7.8)

1-

и

max

Следовательно, эпюры безразмерных местных скоростей при лами­нарном движении жидкости в трубах одинаковы и их можно представить

параболой (рис. 7.6).

Расход. Для определения расхода в одном из поперечных сечений трубы выделим на расстоянии г от оси трубы элементарную площадку в виде кольца толщиной dr (рис. 7.6). Площадь кольца d(i)= 2кгdr. Расход через площадку определится по соотношению dQ = u2nrdr. Расход через сечение:

П) ^fD

Q = J и dw = 2п J иг dr.

о о

Подставив значение и из (7.7) и помня замечание о независимости v от г, получим:

2тш

-|(г₀² - г² 'jrdr

q-sl*

128v

Q=

■и

max

или

Важно отметить, что при заданном J расход в трубе в условиях напор­ного ламинарного движения пропорционален четвертой степени диаметра.

Средняя скорость. Учитывая, что х> = Q / iо, найдем выражение для средней скорости:

gJ ,2 _ gJ 2

■d

(7.9)

ь

32v 8v Сравнивая формулы для w_max и ц, видим, что:

"о 0,5 м_п1ах,

т.е. средняя скорость в сечении напорного ламинарного потока в цилинд­рической трубе круглого сечения равна половине максимальной скорости.

Коэффициент кинетической энергии равен:

^rQ

2кг dr

_ 0

а = — — da>=

= 2.

со; XV

Ю⁴ '

2 V

8v

_r „ du gJ

I радиент местной скорости — = г, то есть изменяется прямо

dr 2v

пропорционально расстоянию г данной точки (данного слоя) от оси трубы.

Г радиент — < 0 . dr

Касательные напряжения линейно увеличиваются от нуля на оси

трубы до т₀ = рg—J на стенке (рис. 7.6).

_ „ du du gJ г

Действительно, т = —ц—,а — = г, откуда т = рg—J

dr dr 2v 2